sábado, 25 de enero del 2020 Fecha
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¡Las matemáticas! ¿El origen?

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en El Origen de las cosas    ~    Comentarios Comments (0)

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                Si miramos … ¿Qué veremos?

                      Muescas en el hueso de Ishango

Lo que veremos es que las cosas nunca son como parecen ser a primera vista y, con el tiempo que inexorable transcurre, las cosas cambian sin que nada lo pueda evitar y, los saberes del mundo evolucionan tomando siempre el camino de la perfección. Es decir, cada vez se hacen las cosas mejor, se depuran las técnicas y, con la experiencia llega el conocimiento y la sabiduría.

Los expertos occidentales, por ejemplo, dicen que la autoría del teorema de Pitágoras corresponde a éste. A pesar de que los babilonios habían creado el mismo concepto siglos antes. La razón es que Pitágoras o sus seguidores habían creado la primera demostración de este principio fundamental, mientras que los babilonios no lo hicieron. Es lo mismo que pasó (en tiempos más recientes) con Faraday y Maxwell, el primero descubrió con sus experimentos todos los fundamentos encerrados en la electricidad y el magnetismo y, al no saber exponerlo matemáticamente, tuvo que llegar Maxwell que, con sus ecuaciones vectoriales nos dejara una demostración fundamental del electromagnetismo.

Los críticos consideran tan la demostración al estilo griego que su inexistencia en las culturas no europeas desacredita, en su opinión, miles de años de trabajos matemáticos. Claro que, en este punto, no todos estamos de acuerdo y, por mi creo que los pueblos no occidentales sí tenían sus demostraciones, mientras que otros dudan de que sea realmente posible “demostrar” cualquier concepto para toda la eternidad y para su en la totalidad del universo. Es cierto que eterno…no hay nada pero, en todo el universo será válida la ecuación E = mc², de la misma manera que 2 + 2 = 4. Hay cosas que ni el tiempo ni las distancias pueden variar.

La numeración egipcia (escrita) permitía la representación de números mayores que un millón. Utilizaban un sistema aditivo de decimal con jeroglíficos específicos para la unidad y una de las seis primeras potencias de 10.

En la figura podemos ver los símbolos usados para 1, 10, 100 y 1.000. El 10.000 se representaba con un dedo doblado, el 100.000 con un pez y 1.000.000 mediante una figura humana de rodillas y con los brazos alzados.

En un principio escribían los nueve primeros números colocando símbolos de la unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la representación por desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban un principio ternario (ver tabla).

El escepticismo es oportuno en toda investigación, pero quien investigue las matemáticas no occidentales se enfrenta a menudo con un gran obstáculo. Expertos que han estudiado los sistemas de numeración de la antigua Etiopía, cuentan que los expertos occidentales se negaron en una ocasión a aceptar que esta civilización africana hubiera desarrollado sus propios números. Los números etíopes se parecen a los números egipcios, que son anteriores, y, en menor medida, a los antiguos números griegos –lo cual no es sorprendente, dada, por una la proximidad geográfica de Etiopía con Egipto y, por otra , la influencia que ejerció Egipto en las matemáticas griegas. Una serie de cartas escritas por algunos etíopes a personajes griegos y encontradas en Grecia estaban escritas en los dos lenguajes para que las entendieran y, a pesar de ello, algunos “expertos” dudaban que los etíopes hubieran sido capaces de tal sofisticación. Sin embargo, los análisis químicos demostraron que la empleada tenía un color no habitual y los análisis químicos demostraron que la tinta se había fabricado a partir de unas bayas autóctonas de Etiopía.

Nuestro patrimonio matemático y nuestro orgullo occidentales dependen irremediablemente de los logros de la antigua Grecia. Dichos logros se han exagerado tanto que a resulta difícil distinguir qué part3e de la matemática moderna procede de los griegos y cuál es la que su origen en los babilonios, los egipcios, los hindúes, los chinos, los árabes, etc. Sin embargo, si nuestras actuales se basaran exclusivamente en Pitágoras, Euclides, Demócrito, Arquímedes y otros griegos, serían una disciplina bastante deficiente.

En 1908, el historiador de las matemáticas, Rouse Ball escribió:

“La historia de las matemáticas no se puede remontar ciertamente a ninguna ni a ningún período que sean anteriores a la etapa de los griegos jónicos”.

Hoy sabemos que el hombre se extralimitó al ponerle fecha al conocimiento matemático del mundo humano que, como ahora sabemos, viene desde muy lejos en el tiempo. Aunqiue las huellas no todas han sobrevivido, si aparecieron tablillas y otros objetos que contenían la prueba de que nuestros antepasados de Mesopotamía, Babilonia,  India, Egipto… y otros fueron los precursores de la posterior matemática griega.

 

 

                 En 1952 el historiador Morris Kline escribió:

“Fue en el extraordinariamente propicio suelo de Gracia donde [las matemáticas] garantizaron finalmente una nueva forma de controlar la existencia humana y florecieron espectacularmente durante un breve período de tiempo… Con el declive de la civilización griega la planta quedó aletargada durante unos mil años… [hasta que] esa planta fue llevada de una manera adecuada a Europa y plantada una vez más en el terreno fértil”

De un modo esquemático, se interpreta a menudo el significado de esta afirmación entendiendo que ha habido tres etapas de la de las matemáticas:

 

 

 

  1. 1.   Hacia el año 600 a. C., los antiguos griegos inventaron las matemáticas, que estuvieron desarrollando hasta aproximadamente el año 400 d. C., en el cual desaparecieron de la faz de la Tierra.
  2. 2.   A esto siguió un período oscuro para las matemáticas, que duró más de mil años. Algunos expertos admiten que los árabes mantuvieron vivas las matemáticas griegas durante toda la Edad Media.
  3. 3.   En la Europa del siglo XVI se produce el redescubrimiento de las matemáticas griegas que vuelven a florecer de hasta el momento actual.

 

Claro que este punto de es muy discutible. Nuestros números modernos -del 0 al 9- se desarrollaron en la India (como ha quedado reseñado en escritos expuestos aquí en estos días pasados) durante la segunda etapa, el llamado período oscuro de las matemáticas. Las matemáticas existían ya mucho antes de que los griegos construyeran su primer ángulo recto.

Rouse Ball, desconocía las primeras matemáticas hindúes contenidas en los Sulbasutras (las reglas de la cuerda). Escritos en alguna comprendida entre los años 800 y 500 a. C., los Silbasutras demuestran, entre otras cosas, que los indios de este período tenían su propia versión del teorema de Pitágoras así como un procedimiento para obtener la raíz cuadrada de 2 con una precisión de hasta cinco cifras decimales. Los Sulbasutras ponen de manifiesto la existencia de un rico conocimiento geométrico que fue muy a los griegos.

Otro experto nos dice que, la afirmación de Kline es más problemática, ya que ignora un rico conjunto de matemáticas no europeas que fueron desenterradas hacia mediados del siglo XX, incluidas las matemáticas de Mesopotamia, Egipto, China, la India, el mundo árabe y la América precolombina. También existe el problema de los propios griegos –Demócrito, Aristóteles, Heródoto- prodigaron alabanzas a los egipcios, reconociéndolos como sus gurús matemáticos (aunque con distintas palabras). El hecho cierto es que, antes que los griegos fueron muchos los que aportaron su matemático para que ahora nosotros, sepamos de esa imprescindible y necesaria disciplina que nos sirve para construir puentes, para diseñar veloces trenes, para poder calcular las trayectorias de las naces espaciales que van hacia Marte, o, simplemente, para saber cómo funcionan las leyes de la Naturaleza, los átomos que conforman la materia e incluso, saber sobre densidades y energías en las estrellas.

Repasando todos estos hechos, de alguna manera, podemos llegar a entender aquel “Todo es número” de los pitagóricos.

                                    La más famosa fórmula de Euler. Hay veces en la que no tenemos más opción que asombrarnos de lo que puede discurrir la mente humana. Sobre esta fórmula mágica, alguien dijo:

“Si una aburrida noche de invierno decidideran acudir a un restaurante de las Matemáticas y pidieran una paella con “un poco de todo” o, más precisamente, “un poco de todo lo importante”, probablemente les llevarían a la mesa la ecuación del título. Ésta, a pesar de tratarse de una pura tautología, es muy conocida la comunidad científica por su simplicidad y casi sobrenatural completitud: contiene en una sola línea elementos de lo más diverso y de cierta relevancia en la historia de las Matemáticas.”

Está claro que este breve comentario no pretende ser la historia de las matemáticas que, para ser un fiel reflejo de la realidad, tendría que estar contada en muchos volúmenes llenos de explicaciones, hallazgos y anécdotas y hechos que nos llegaron a través de los descubrimientos realizados a lo largo del tiempo. Sin embargo, si es un apunte interesante de lo que pudo ser. Para cerrar el trabajo he querido traer aquí una fórmula mágica, es debida a Leonhard Euler, nacido en Basilea en el año 1707. Una mente prodigiosa  que deslumbraba desde su más tierna juventud en diversas disciplinas, especialmente en Matemáticas. Le llamaron el Rey Midas de las matemáticas.

En el campo de las llamadas Matemáticas Puras, Euler creó de golpe y de manera extraordinaria varias nuevas disciplinas de investigación, apartes de las ya mencionadas, y las desarrolló metódicamente: la teoría de las series infinitas, el álgebra superior y el cálculo de variaciones. Asimismo, Euler determinó, investigando la serie armónica, la constante de su nombre, siendo la más sencilla de las series infinitas que dan el valor de ella:  e = 1 + 1/1! + 1/2! + …

           La Poesía y la Música han sido eternas compañeras

“Podemos volar hacia el mundo de la poesía y de la música y, nos encontramos cara a cara con la cantidad y el número, en sus tirmos y octavas,…”

Alfred North Whitehead.

emilio silvera

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Arquitas de Tarento

 

Allá por el siglo IV a, C,, en la Magna Grecia, Aquitas de Tarento demostró ser un gran político y un buen militar, además de un gran pensador. En aquellos tiempos, para los colegas griegos de Arquitas, por ejemplo, el pensamiento de que la Tierra no era el centro del universo habría sido simplemente impensable. Para nosotros, tal pensamiento es casi una segunda naturaleza, y esto a su vez tiene su efecto sobre el tipo de modelos  del universo que contruimos en nuestras mentes.

Si se desprende una sola lección del progreso que ha realizado la raza humana en sus sucesivas concepciones del universo, es ésta: cuanto más sabemos, menos centrales parecen ser nuestro planeta y la raza humana. Hemos llegado a vernos como los habitantes de una pequeña roca que gira alrededor de un sol muy corriente situado en un tipo de galaxia poco especial. Y también hemos llegado a comprender que en el Cosmos las cosas no suceden al Azar, sino que todo suceso es gobernado por una o por un pequeño número de leyes naturales, leyes que podemos descubrir en nuestros laboratorios y comprobar con nuestros ingeniosos aparatos que los conocimientos tenológicos nos han posibilitado construir para que eso sea posible. Todo lo que vemos en el cielo,  igual que todo lo que vemos sobre la Tierra, sucede de un modo racional y ordenado, siguiendo unos patrones que hemos llegado a descubrir. Sin embargo, ese universo que es el que estudiamos, no es el único universo que nuestras mentes pueden imaginar.

 

 

 

 

Siempre hemos imaginado extraños mundos, universos imposibles a los que nos llevaron la ignorancia

los babilonios,  incluso la existencia del universo era un hecho contingente, algo que podía suceder. Estamos aquí porque Marduk ganó su batalla contra el monstruo. Si no hubiera sido así, todavía prevalecería el caos primordial. No hubiera habido ni tierra ni cielos y, por supuesto, seres humanos que se maravillasen ante la creación. Así, los aspectos más importantes del mundo dependen de suscesos a los que no se aplica ninguna ley inmutable.

Impresión de un Cilindro-sello babilónico en la que se aprecia la lucha de Marduk contra el monstruo serpentiforme Tiamat. Ya en aquella lejana época los miembros de nuestra especie dejaron muestras de su inmensa imaginación para describir las cosas que ellos “creían” que eran el significado de los fenómenos de la Naturaleza que traducían en dioses. nosotros, lo hacemos con “la materia oscura” y cosas similares.

El universo sólo podía ser controlado por los dioses, y los dioses sólo podían ser inducidos a atender a las necesidades humanas mediante el uso de rituales. Sospecho que los “universos de espíritus y dioses” proporcionaban mucha más gratificación emocional a los que creían en ellos de la que nuestro universo nos proporciona a nosotros que, habiendo llegado a comprender, más que gratificarnos lo que es asombrarnos y sólo nos gratifican los descubrimientos que de la Naturaleza vamos conquistando. Después de todo, el universo de los babilonios era un lugar en el que las cosas que sucedían eran muy humanas.

                   Tales de Mileto dejó a un lado la Mitología y aplicó la Lógica

El atractivo de todas estas viejas creencias (de alguna manera) no ha desaparecido ni suqiera ahora, en nuestro tiempo actual. Una gran parte del movimiento contracultural de los sesenta implicaba un rechazo de la cultura racional y científica de la Norteamérica moderna que comenzaba a florecer con fuerza y una vuelta a una visión más mítica del universo.

No obstante, por muy satisfactorios emocionalmente que fueran los viejos sistemas, dejaba mucho que desear en el terreno intelectual. Batalla o no batalla en el mundo inferior, el Sol sale cada mañana. Los movimientos de las estrellas y de los planetas pueden depender del humor de los dioses, pero son regulares y predecibles. De algún modo, la yuxtaposición de las verdades muy personales y contingentes de los antiguos universos con el comportamiento regular de los cielos parece difícil de explicar, al menos para las mentes del siglo XXI.

Fueron los griegos los primeros que concibieron un universo algo parecido al que concebimos hoy. Sus ideas se caracterizaban por un vivo escepticismo. Por ejemplo,  en una generación anterior a Arquitas, el historiador Herodoto hizo un viaje por Egipto. Le mostraron un templo en el que los sacerdotes ponían comida para el dios todas las noches. La comida había desaparecido siempre por la mañana, hecho que presentaban a Herodoto como demostración de la existencia del dios.

“Yo no ví ningún dios -comentó-, pero ví muchas ratas junto a la base de la estatua.”

¡Es difícil no encontrar simpático a alguien que piensa de ese modo!

Este tipo de mente inquisitiva condujo a los griegos a un universo que era notablemente diferente de los que hemos podido conocer que representaban civilizaciones más antiguas. Y su era tan impresionante que siguió siendo la versión aceptada de los cielos hasta después del Renacimiento, casi mil quinientos años y, ante eso, me tengo que preguntar: ¿Durará tánto tiempo nuestra actual visión del Universo?

Y llegó Ptolomeo

ptolomeo Hiparco Claudio Ptolomeo

Nació en Tolemaida Hermía, en el Alto Egipto. Fallece en Alejandría, ciudad en donde desarrolló toda su actividad. Está considerado como uno de los personajes más relevante e importante de la historia. Astrónomo, matemático y geógrafo. Ptolomeo propuso el sistema geocéntrico como la base de la mecánica celeste que persistió durante más de 1400 años. Sus teorías, investigaciónes y explicaciones astronómicas prevalecieron en el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Esta considerado como el último científico más importante de la antigüedad y su fama se debe a su exposición del sistema ptolomaico. Recopiló los conocimientos científicos de su época, añadiendo sus observaciones y las de Hiparco de Nicea. Escribo una obra conocida con el nombre de “Almagesto” (Ptolomeo la había denominado Sintaxis Matemática) realizada en 13 volúmenes, llegando a Europa en una versión traducida al árabe.

escuela ateniense copiar Hiparco Claudio Ptolomeo

En la explicaciones del Almagesto del sistema ptolomaico,  la Tierra se encuentra situada en el centro del Universo y el Sol, la Luna y los planetas giran en torno a ella arrastrados por una gran esfera llamada “Primum Movile”, mientras que la Tierra es esférica y estacionaria. Las estrellas están situadas en posiciones fijas sobre la superficie de dicha esfera.

Claudio Tolomeo, es el hombre en el que se piensa siempre como expositor de la astronomía griega, vivió en Alejandría en el siglo II d. C., y trabajaba en el Museo de Alejandría que funcionaba en cierto modo como un moderno centro de investigación y laboratorio gubernamental.

Tolomeo recopiló las mediciones de sus antecesores griegos y babilonios, hizo algunas por sí mismo y utilizó el trabajo previo para producir un modelo de universo que explicara todo lo que había sido observado y, como es natural, si pensamos en los medios que tenía, puso a la Tierra en el centro, mientras que esferas de cristal giraban siendo portadoras del Sol, de la Luna, de los planetas y de las estrellas.

Explicar aquí ahora lo que era el universo telemaico no parece lo más adecuado por lo sabido del tema. Sin embargo, sí es preciso decir que, estaba basado en el supuesto tácito del  geocentrismo, y, aunque algunos científicos griegos, como Pitágoras e Hiparco, sugirieron que el Sol no debería ocupar un lugar central en el cosmos, pocos hicieron caso a sus argumentos.

Galileo Galilei (1564 - 1642) y Johannes Kepler (1571 - 1630)

 Galileo Galilei (1564 – 1642) y Johannes Kepler (1571 – 1630)

Después de quello, todos con0cemos, llegaron Galileo, Tycho Brahe y Kepler…Newton y Einstein que nos trajeron un Universo muy diferente. Se explicaba las órbitas de los planetas, se descubrió la Gravedad causada por las grandes masas como las galaxias, estrellas y planetas, se habló de cómo se curvaba el espaciotiempo, se conocieron los cuásars, las estrellas de neutrones y los agujeros negros y, en definitiva, supimos que estamos en un universo en expansión donde la materia y la energía está representada por la materia y las interacciones de fuerzas que interactúan entre sí.

Es cierto, el acto de explorar modifica la perspectiva del explorador. Así ha sucedido con la investigación científica de los extremos de las escalas, la grandiosa extensión del espacio cosmológico hasta el “mundo” infinitesimal y vertiginosamente enloquecido de las partículas subatómicas y del átomo.

La exploración del ámbito de las galaxias extensió nuestro alcance de visión en un factor de 1026 veces mayor que nuestra propia escala humana, y produjo la revolución que llamamos relatividad, la cual reveló que la visión newtoniana del mundo sólo era una imagen local y pequeña en un universo más vasto donde el espacio es curvo y el tiempo se hace flexible. La exploración del dominio subatómico nos llevó lejos en el ámbito de lo muy pequeño, a 10-15 de la escala humana, y significó una revolución, la de la física cuántica que vino a cambiarlo todo en ese dominio infinitesimal.

Cuando el cuanto de acción de Planck entró en escena… ¡El mundo cambió!

Aunque la semilla la puso Planck en 1900, fue a partir de 1930 cuando la mecánica cuántica se aplicó con mucho éxito a problemas relacionados con núcleos atómicos, moléculas y materia en estado sólido. La mecánica cuántica hizo posible comprender un extenso conjunto de datos, de otra manera enigmáticos. Sus predicciones han sido de una exactitud notable. Ejemplo de ésto último es la increíble precisión de diesciciete cifras significativas del momento magnético del electrón calculadas por la EDC (Electrodinámica Cuántica) comparadas con el experimento.

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Imagen ilustrativa de la dualidad onda-partícula, en el que se aprecia cómo un mismo fenómeno puede ser percibido de dos modos distintos. La mecánica cuántica describe, en su visión más ortodoxa, cómo en cualquier sistema físico –y por tanto, en todo el universo- existe una diversa multiplicidad de estados, los cuales habiendo sido descritos mediante ecuaciones matemáticas por los físicos, son denominadoss estados cuánticos. De esta forma la mecánica cuántica puede explicar la existencia del átomo y desvelar los misterios de la estructura atómica, tal como hoy son entendidos; fenómenos que no puede explicar debidamente la física o más propiamente la mecánica clásica.

Este es el Universo que hoy podemos ver gracias a los avances de la tecnología y los nuevos conocimientos

¡Qué lejos quedan los babilonios y el universo de Marduk!

¡Qué simple se ve ahora el universo de Tolomeo!

El desarrollo de la relatividad especial creó un escenario nuevo. Una de las conclusiones del de Eisntein es que ningún objeto -de hecho, ninguna influencia o perturbación de ninguna clase- puede viajar a una velocidad mayor que la de la luz. Sin embargo, como hemos podido leer muchas veces, la teoría universal de la gravedad de Newton, que experimentalmente funciona tan bien y es tan grata para la intuición, habla de influencias que se transmiten en el espacio a grandes distancias instantáneamente. De nuevo fue Eisntein el que intervino en el conflicto y lo resolvió ofreciendo un nuevo concepto de la Gravedad en su teoría general de la relatividad.

Así, nuestro mundo cambió de nuevo y ahora, se rige por estas dos leyes: Cuántica y Relativista que son las que marcan las pautas de la Ciencias físicas y Cosmológicas. ¿Cómo veremos el Universo dentro de un milenio? Seguramente nos parecerá el universo ahora presente, tan atrasado como nos parece hoy el de Tolomeo.

No es sólo que el Espacio y el Tiempo estén influidos por el estado del movimiento del observador, sino que, además, pueden alabearse y curvarse como respuesta a la presencia de materia o energía. Tales distorsiones en la estructura del Espacio y el Tiempo, transmiten la fuerza de Gravedad de un lugar a otro que, más cercano o más lejano, recibe la influencia de esta fuerza fundamental. Así que, desde entonces no se puede ya pensar que el Espacio y el Tiempo sean un telón de fondo inamovible e inerte en el que se desarrollan los sucesos del universo; al contrario, según la relatividad especial y la relatividad general, son actores de primera fila que desempeñan un papel íntimamente ligado al desarrollo de todos los hechos que en el universo ocurren.

Una vez más  el modelo se repite: el descubrimiento de la relatividad general, aunque resuelve un cnflicto, nos lleva a otro. A lo largo de tres décadas a partir de 1900, los físicos desarrollaron la mecánica cuántica en respuesta a varios problemas  evidentes que se pusieron de manifiesto cuando los conceptos de la física del siglo XIX se aplicaron al mundo microscópico. Como he mencionado anteriormente, el tercer conflicto, el más trascendental, surge de la incompatibilidad entrem la mecánica cuántica y la relatividad general. La forma geométrica ligeramente curvada del esapcio, que aparece a partir de la relatividad general, es incompatible con el comportamiento microscópico irritante y frenético del universo que se deduce de la mecánica cuántica.

                                 Un amigo tiene en sus manos la teoría luz-luz… ¿será el futuro?

Y, volvemos otra vez al principio: Tenemos que persistir en aquellos trabajos de los años ochenta, cuando se presentó la solución que ofrecía la teoría de cuerdas para este tercer conflicto o problema. En realidad, es el mayor conflicto que se nos presenta en la física moderna. Necesitamos ya, para poder explicar muchas cosas y seguir avanzando, una teoría cuántica de la gravedad. Estamos parados, no podemos avanzar como sería deseable y, luego muchas son las iniciativas que se intentan: Teoría de Cuerdas, Teoría Luz-luz (energía-masa) y otras muchas que están, en la mente de los mejores físicos del mundo pero que no acaban de germinar.

Esperémos que pronto salgan a la luz esas ideas y pensamientos que nos lleven hacia una ciencia física del futuro en la que, nuevos paradigmas vengan a jubilar (cariñosamente lo digo) a estas dos que ahora son el soporte de todo: ¡Cuántica y Relatividad! y, me pregunto yo: ¿Habrá algo más después de esas dos teorías que, llevando un siglo en el candelero, piden a gritos que las jubilémos?

Según todos los indicios, para cuando pasen algunos miles de millones de años más, si es que aún estamos aquí (como poco probable), cuando apuntemos con nuestros telescopios al cielo profundo, ya no podremos ver imágenes como esta, toda vez que las galaxias, sae alejan las unas de las otras y nuestro universo se estará dirigiendo, de manera inexorable, hacia su “muerte térmica”. Claro que, esa podría ser una visión del presente que, en realidad, nada tendría que ver con la realidad del universo futuro.

emilio silvera