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Riemann y Euclides

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en Física    ~    Comentarios Comments (26)

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La ruptura decisiva con la geometría euclidiana llegó cuando Gauss pidió a su discípulo Riemann que preparara una presentación oral sobre los “fundamentos de la geometría”. Gauss estaba muy interesado en ver si su discípulo podía desarrollar una alternativa a la geometría de Euclides.

Riemann desarrolló su teoría de dimensiones más altas.

Finalmente, cuando hizo su presentación oral en 1.854, la recepción fue entusiasta. Visto en retrospectiva, esta fue, sin discusión, una de las conferencias públicas más importantes en la historia de las matemáticas. Rápidamente se entendió por toda Europa la noticia de que Riemann había roto definitivamente los límites de la geometría de Euclides que había regido las matemáticas durante dos milenios.

Riemann creó su tensor métrico para que, a partir de ese momento, otros dispusieran de una poderosa herramienta que les hacía posible expresarse, a partir del famoso teorema de Pitágoras (uno de los grandes descubrimientos de los griegos en matemáticas que establece la relación entre las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo: afirma que la suma de los cuadrados de los lados menores es igual al cuadrado del lado mayor, la hipotenusa; es decir, si a y b son los longitudes de los dos catetos, y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 + b2 = c2.  El teorema de Pitágoras, por supuesto, es la base de toda la arquitectura; toda estructura construida en este planeta está basada en él. Claro que, es una herramienta para utilizar en un mundo tridimensional).

El tensor métrico de Riemann, o N dimensiones, fue mucho más allá y podemos decir que es el teorema para dimensiones más altas con el que podemos describir fenómenos espaciales que no son planos, tales como un remolino causado en el agua o en la atmósfera, como por ejemplo también la curvatura del espacio en presencia de grandes masas. Precisamente, el tensor de Riemann permitió a Einstein formular su teoría de la gravedad y posteriormente lo utilizo Kaluza y Klein para su teoría en la quinta dimensión de la que años más tarde se derivaron las teorías de supergravedad, supersimetría y, finalmente, las supercuerdas.

Para asombro de Einstein, cuando tuvo ante sus ojos la conferencia de Riemann de 1.854 que le había enviado su amigo Marcel Grossman, rápidamente se dio cuenta de que allí estaba la clave para resolver su problema.  Descubrió que podía incorporar todo el cuerpo del trabajo de Riemann en la reformulación de su principio. Casi línea por línea, el gran trabajo de Riemann encontraba su verdadero lugar en el principio de Einstein de la relatividad general. Esta fue la obra más soberbia de Einstein, incluso más que su celebrada ecuación E = mc2. La reinterpretación física de la famosa conferencia de Riemann se denomina ahora relatividad general, y las ecuaciones de campo de Einstein se sitúan entre las ideas más profundas de la historia de la ciencia.

Pero volvamos al trabajo de Riemann. Su propósito era introducir un nuevo objeto en las matemáticas que le capacitase para describir todas las superficies, por complicadas que fueran. Ésto le condujo inevitablemente a reintroducir el concepto de campo de Faraday.

El campo de Faraday, recordémoslo, era como un campo de granjero que ocupa una región de un espacio bidimensional. El campo de Faraday ocupa una región de un espacio tridimensional; a cualquier punto del espacio le asignamos una colección de números que describe la fuerza eléctrica o magnética en dicho punto. La idea de Riemann consistía en introducir una colección de números en cada punto del espacio que descubriera cuánto estaba torcido o curvado.

Por ejemplo, para una superficie bidimensional ordinaria, Riemann introdujo una colección de tres números en cada punto que describe completamente la curvatura de dicha superficie. Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales se necesita una colección de diez números en cada punto del espacio para describir sus propiedades. Por muy retorcido o distorsionado que esté el espacio, esta colección de diez números en cada punto es suficiente para codificar toda la información sobre dicho espacio. Hoy, esta colección de números se denomina el Tensor métrico de Riemann.  Hablando crudamente, cuanto mayor es el valor del tensor métrico, mayor es el arrugamiento de la superficie, digamos de una hoja de papel, y el tensor métrico nos da un medio sencillo para medir la curvatura en cada punto.  Si alisamos completamente la hoja arrugada, entonces recuperamos la fórmula de Pitágoras.

El tensor métrico de Riemann le permitió erigir un potente aparato para describir espacios de cualquier dimensión con curvatura arbitraría. Para su sorpresa, encontró que todos estos espacios están bien definidos y son autoconsistentes. Previamente, se pensaba que aparecerían terribles contradicciones al investigar el mundo prohibido de dimensiones más altas. Riemann no encontró ninguna. De hecho, resultaba casi trivial extender su trabajo a un espacio N-dimensional. El tensor métrico se parecía ahora a un tablero de ajedrez de N x N casillas.

El tensor de Riemann contiene toda la información necesaria para poder describir un espacio curvo en N-dimensiones. Se necesita dieciséis números para describir el tensor métrico en un espacio tetradimensional. Estos números pueden disponerse en una matriz cuadrada (seis de dichos números son realmente redundantes; de modo que el tensor métrico tiene diez números independientes).

De hecho, en las nuevas teorías de supercuerdas, planteadas en diez y veintiséis dimensiones, tendríamos que hablar del supertensor métrico de Riemann y de cientos de componentes.

Gráfico: Un corte de Riemann, con dos hojas conectadas a lo largo de una línea.  Si caminamos alrededor del corte, permanecemos dentro del mismo espacio.  Pero si atravesamos el corte, pasamos de una hoja a la continua.  Esta es una superficie múltiplemente conexa

De la lección de Riemann se deduce que en espacios multidimensionales se crea el principio de que el espacio múltiple (de más dimensiones) unifica las leyes de la naturaleza encajándolas en el tensor métrico como piezas de un rompecabezas N-dimensional.

Riemann anticipó otro desarrollo de la física; fue uno de los primeros en discutir espacios múltiples y conexos, o agujeros de gusano.

Topológicamente hablando, el dibujo adjunto es equivalente a lo que sería un agujero de gusano con boca de entrada y de salida en regiones que nos llevarían a otro tiempo (así lo aseguró en 1.988, el físico Kip S. Thorne, del MIT ­- Instituto Tecnológico de Massachuse en California -).

El legado de Riemann (a pesar de su muerte prematura) fue extenso y en general muy valioso. En 1958, anunció incluso que finalmente había logrado una descripción unificada de la luz y la electricidad. Escribió: “Estoy completamente convencido de que mi teoría es la correcta, y de que en pocos años será reconocida como tal“. Aunque su tensor métrico le proporcionó un medio poderoso de describir cualquier espacio curvo en cualquier dimensión, él no conocía las ecuaciones exactas a que obedecía el tensor métrico; es decir, no sabía quçe es lo que hacía que la hoja se arrugase, eso lo vio seis décadas más tarde Einstein que se dio cuenta de que, en presencia de grandes masas, tales como planetas o estrellas – entre otros -, el espacio se “arruga” o “distorsiona”, se curva. Sin embargo Einstein sabía el origen de las arrugas y le faltaba el tensor métrico que, finalmente, le permitió legar al mundo su magnifica teoría.

El trabajo de Riemann, al utilizar el espacio multidimensional, logró simplificar las leyes de la naturaleza, es decir, para él, la electricidad y el magnetismo y también la gravedad eran simplemente los efectos causados por el arrugamiento o distorsión del hiperespacio.

Su asombroso trabajo (que no terminó), fue rematado por dos genios como Maxwell (electricidad y magnetismo) y Einstein (gravedad).

El mensajero de la cuarta dimensión, un pintoresco matemático inglés llamado Charles Howard Hinton que atravesó el Atlántico y la llevó a Norteamérica, formó bastante ruido a cuenta de la cuarta dimensión y se presentaba como experto en ella; tenía respuesta para cualquier pregunta.

Si le preguntaban ¿dónde está la cuarta dimensión?, su respuesta era invariable: “Está aquí, con nosotros, pero es tan pequeña que no la podemos ver“.

Básicamente, la respuesta de Hinton fue la misma que después dieron Kaluza y Klein para su quinta dimensión (la famosa teoría que unía el electromagnetismo de Maxwell y la gravedad de Einstein mediante la ocurrencia de elevar la teoría einsteniana en una dimensión más) y las que han dado otros físicos y matemáticos para explicar las teorías decadimensionales. En todas, cuando nació el tiempo y el espacio, en el Big Bang, resultó que tres dimensiones espaciales y una de tiempo se expandieron con el universo; las otras dimensiones se quedaron compactados en minúsculos círculos en la longitud de Planck, es decir una distancia de 10-33 cm que se formula mediante ,  donde G,  es la constante gravitacional de Newton, ħ es la constante de Planck racionalizada, y c es la velocidad de la luz en el vacío. Esa es una distancia que, hoy por hoy, nuestros aparatos tecnológicos (microscópicos electrónicos, etc), no están capacitados para alcanzar.

Hay asuntos que en física, matemáticas o astronomía, están esperando una respuesta urgente.

emilio silvera

 

  1. 1
    Laura
    el 29 de diciembre del 2010 a las 0:23

    Muy interesante artículo.
    ¿Es posible acceder a la conferencia de Riemann en internet?

    Responder
  2. 2
    emilio silvera
    el 29 de diciembre del 2010 a las 9:02

    Aquí tiene más información.
    http://www.um.es/docencia/plucas/miscelanea/riemann.pdf
    Ha sido un placer.

    Responder
  3. 3
    Fran
    el 30 de diciembre del 2010 a las 2:02

    Hola!
    ¿En la teoría de la relatividad el tensor de Riemann se aplica sobre un espacio de 3 dimensiones o sobre un espacio de 4 (3 espaciales mas tiempo)?
    Si sabes algún sitio donde pueda ver el trabajo de Einstein sobre la relatividad te lo agraderia que despues de leerme este articulo me apetece echarle una hojeada.
     
    Saludos!

    Responder
  4. 4
    emilio silvera
    el 3 de enero del 2011 a las 12:23

    Hola, Fran.

    Te recomendaría un LIbro con el Título: 1905, Año Mirabilis, y, en él, están expuestos los 5 trabajos que por aquella época publicó Einstein sobre la Relatividad Especial, los gases, el Efecto Fotoeléstrico, etc.

    Te buscaré más datos y otro día te los pondré aquí para que te puedas hacer con él.

    Saludos.

    Responder
  5. 5
    joshua
    el 10 de julio del 2011 a las 21:29
    Responder
  6. 6
    emilio silvera
    el 11 de julio del 2011 a las 6:56

    Amigo joshua, muchas veces las palabras sobran.
    saludos.

    Responder
  7. 7
    Carlos J. Gil H
    el 31 de mayo del 2013 a las 15:54

    Le felicito por su artículo y le solicito gentilmente la siguiente información:

    Soy un aficionado a la teoría de la relatividad y estoy interesado en encontrar un artículo sobre la obtención (demostración) de la expresión  para el espacio de tres dimensiones, en la cual Riemann  demostro que la curvatura del plano caratesiano esta dada por la expresión:

    ds^2 = (dx^2+dy^2+dz^2)/[1+(k/4)(x^2+y^2+z^2]^2

    K es el valor isotrópico de la curvaura gaussiana de la región

    ^2 implica elevado al cuadrado. 

    Disculpe algún error tipográfico pero trabajo con una lapto que tiene el teclado para el idioma ingles.

    Saludos,
    Carlos Gil
     

    Responder
    • 7.1
      emilio silvera
      el 31 de mayo del 2013 a las 20:21

      No se si te refieres a esto:
       
      “La geometría de variedades de Riemann con dimensión mayor o igual que 3 es demasiado compleja como para describirla totalmente por un número en un punto dado. Así, en 3 dimensiones la curvatura puede representarse por un tensor de segundo orden (el tensor de Ricci). Sin embargo, para dimensiones superiores necesitaremos al menos un tensor de cuarto orden (el tensor de Riemann).
      El tensor de curvatura tiene una influencia notable en la evolución de la separación de un conjunto de geodésicas inicialmente próximas, vía la ecuación de Hamilton-Jacobi. Da lugar a efectos observables de la curvatura en las fuerzas de marea que aparecen en relatividad general.

      Amigo Carlos, ahora, matemáticamente ya no es ningún problema describir un espacio de tres o más dimensiones a través del tensor métrico de Riemann que tanto ayudó AEinstein en su teoría de la relatividad general. Sin el Tensor de Riemann, todavía andaría dando vueltas buscando como formular su teoría.
      Saludos.


       

      Responder
  8. 8
    Carlos J. Gil H
    el 1 de junio del 2013 a las 15:04

    En referencia a mi plantemiento, calculare el tensor de Riemann para la metrica antes descrita y obtendre el valor de la curvatura, que ya sabemos su valor es nulo o cero.

    Vi en una sus entradas que recomienda un sitio en la web para acceder a la Conferencia de Riemann de 1858, pero solo encontre fragmentos de esta y una siete paginas que desscriben la vida de Riemann.

    Tiene algun otro sitio en la web para localizar este documento ?

    Saludos
    Carlos Gil 

    Responder
    • 8.1
      Emilio Silvera
      el 25 de septiembre del 2019 a las 4:10

      He tratado de encontrarlo sin resultado, sólo encontré reseñas y algún que otro párrafo suelto.

      Responder
  9. 9
    Faltan los créditos
    el 24 de septiembre del 2019 a las 20:47

    Parece una copia de hiperespacio de michio kaku

    Responder
  10. 10
    Emilio Silvera
    el 25 de septiembre del 2019 a las 4:16

    El trabajo es parcial y se hicieron varias partes, en ésta no entró la reseña del pequeño resumen de la obra de Michio Kaku que sí aparece en el trabajo, y, desde luego, se debió poner en todas las partes del mismo. Gracias por señalar el error.

    Saludos cordiales.

    Responder
  11. 11
    nelson
    el 30 de septiembre del 2019 a las 14:17

    Hola muchachada.
    Hola, Amigo Emilio.
    En septiembre de 2018, Michael Atiyah, prestigioso matemático británico fallecido a comienzos de este año, anunció haber resuelto la Hipótesis de Riemann e hizo mucho ruido.
    ¿En qué quedó todo aquello?
    Abrazo.

    Responder
    • 11.1
      emilio silvera
      el 3 de octubre del 2019 a las 4:45

      ¡Hola, amigo Nelson!

      Sobre ese pasaje de la vida del gran matemático, más bien parece que había perdido el norte debido a la muerte de su esposa y todo lo que escribió sobre el tema le fue rechazado al estimar los expertos que era un gran sinsentido. Todo ello no le quita el mérito que merece como el gran matemático que fue.

      Un fuerte abrazo

      Responder
      • 11.1.1
        nelson
        el 4 de octubre del 2019 a las 16:25

        Hola, Amigo Emilio!!
        No se si te confundes de matemático o yo soy el confundido, pero entiendo que la esposa de Riemann, Elisa Koch, lo sobrevivió muchos años después de su muerte. Tal vez te refieres a sus hermanas, que murieron una tras otra, afectándolo mucho. Pero también entiendo que su Hipótesis es uno de los problemas mayores de las matemáticas modernas, que trata de la distribución de los ceros en su “función zeta de Riemann” y se relaciona con la distribución de los números primos entre los naturales.
        El matemático que te nombré tiene mucho prestigio y ha sido galardonado con la “Medalla Fields”, máximo premio,  especie de Premio Nóbel entre los matemáticos, aunque hace años, por otros trabajos. El año pasado fue noticia por su presunta resolución de la tal Hipótesis. Luego no he podido encontrar otras repercusiones.
        Un fuerte abrazo.

        Responder
        • 11.1.1.1
          emilio silvera
          el 5 de octubre del 2019 a las 5:28

          ¡Hola, amigo Nelson!

          Cosas como estas pasan de vez en cuando, y la confusión se adueña del lugar. Me estaba refiriendo a Michael Atiyah, que escribió un artículo diciendo que había resuelto la Hipótesis de Riemann, y, finalmente, todo quedó en nada y sus números resultaron un sin sentido. El hombre, al perder a su esposa, se llevó tal disgusto que le sunió en un pozo negro del que no supo salir.

          Riemann muruí muy joven y como dices, la esposa le sobrevivió.

          Un abrazo.

  12. 12
    José Germán Vidal Palencia
    el 1 de octubre del 2019 a las 20:12

    Hola amigos, no soy matemático, pero Las matemáticas y los matemáticos me asombran y admiro porque tratan de dar respuestas a lo desconocido. Riemann no sólo tuvo el talento de proponer a través de ellas la naturaleza curva de nuestro Universo, sino que también aportó ideas que han permitido al gran público comprenderlo. Einstein no era un experto matemático, pero con ayuda matemática de su amigo Grossmann pudo aprovechar exitosamente el trabajo de Riemann, pudiendo acoger algunas de sus formulaciones relativas a la geometría de espacios curvos, que sirvieron para la consecución de su TGR.
    Es cierto que la hipótesis de Rieman está en el ámbito de las matemáticas puras, pero no deja de ser interesante, que en un futuro se le pudiera conocer alguna aplicación matemática, como un paso más que nos acercaría a cosas tangibles u observables requeridas para una modernidad tecnológica, tan precisa y útil como el GPS, donde Riemann marcó la pauta para que se lograse a partir de los trabajos de Einstein.
    Un saludo cordial al Maestro Emilio y amables contertulios.

    Responder
  13. 13
    emilio silvera
    el 3 de octubre del 2019 a las 4:47

    Siempre serás bien recibido amigo.

    Responder
  14. 14
    José Germán Vidal Palencia
    el 3 de octubre del 2019 a las 16:20

    Hola amigos
    Alfréd Rényi y Paul Erdós fueron importantes matemáticos húngaros, este último tomaba mucho café, por lo que compartían una frase sobre lo que es un matemático, decían: “un matemático es una máquina que convierte café en teoremas”. Por su parte, El maestro Emilio tiene este Blog de ciencias, como una máquina que convierte el espacio-tiempo en delicioso café, fabricándolo al compás de las notas de Riemann, Euler, Einstein, Hawking, etc. Ni dudarlo, que sabroso es.
    Saludos

    Responder
    • 14.1
      emilio silvera
      el 4 de octubre del 2019 a las 4:34

      Estimado José German, como somos animales sociales, todos queremos compartir con los demás nuestras aportaciones (más o menos importantes), y, cuando se reconoce el esfuerzo… ¡Es de agradecer!

      Un fuerte abraqzo.

      Responder
      • 14.1.1
        José Germán Vidal Palencia
        el 9 de octubre del 2019 a las 16:08

        Muchísimas gracias amigo Emilio, espero que la bombilla de mí creación encienda más seguido, espero que aún no se haya fundido. Compartir conocimientos que pudieran parecer interesantes, para mí, resulta ser uno de los mejores frutos, que un ser humano, pudiera ofrecer a otro.
        Un gran abrazo

        Responder
        • 14.1.1.1
          emilio silvera
          el 10 de octubre del 2019 a las 5:17

          Precisamente, por eso decía Feynman con frecuencia: “Èl Placer de descubrir”! Con cada conocimiento nuevo que podemos conquistar, obtenemos una llave que abre puertas cerradas, y, en su interior, encontramos otras preguntas que, ahora, con el nuevo conocimiento, quizás podamos contestar, o, al menos, sabremos plantear nuevas preguntas.

          Nos pasamos la vida aprendiendo cosas nuevas, adquiriendo conocimientos que antes no teníamos, y, a pesar de ello, no lo podremos saber todo. Ahí reside, precisamente, el que podamos seguir avanzando y planteando nuevas preguntas conservando esa curiosidad que nació con nosotros y nos mantiene alertas, no dejando que caigamos el el hastía.

          Un abrazo.-

        • 14.1.1.2
          José Germán Vidal Palencia
          el 31 de octubre del 2019 a las 15:04

          Amigo Emilio, una vez más mis respetos para ti, acabas de dar una nota de tus grandes experiencias que nos aviva el deseo de seguir investigando.
          Un fuerte abrazo

  15. 15
    nelson
    el 6 de octubre del 2019 a las 23:34

    Gracias Amigo Emilio!! Aclarado.
    Un abrazo 

    Responder

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