miércoles, 22 de enero del 2020 Fecha
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¡Los grandes Números del Universo!

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en El Universo asombroso    ~    Comentarios Comments (2)

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Cuando los físicos empezaron a apreciar el papel de las constantes en el dominio cuántico y explotar la nueva teoría de la gravedad de Einstein para describir el universo en su conjunto, las circunstancias eran las adecuadas para que alguien tratara de casarlas.

Así entró en escena Arthur Stanley Eddington: un extraordinario científico que había sido el primero en descubrir cómo se alimentaban las estrellas a partir de reacciones nucleares. También  hizo importantes contribuciones a nuestra comprensión de las galaxias, escribió la primera exposición sistemática de la teoría de la relatividad general de Einstein y fue el responsable de la expedición que durante un eclipse de Sol, pudo confirmar con certeza la predicción de la relatividad general que debería desviar la luz estelar que venía hacia la Tierra en aproximadamente 1’75 segundos de arco cuando pasaba cerca de la superficie solar, cuyo espacio estaría curvado debido a la gravedad generada por la masa del Sol. En aquella expedición, el equipo de Eddington hizo una exitosa medición del fenómeno desde la isla Príncipe, que confirmó que Einstein tenía razón y que su teoría predecía de manera exacta la medida de curvatura del espacio en función de la masa del objeto estelar que genera la gravitación distorsionando el espaciotiempo a su alrededor.

                        Eddintong

Entre los números que Eddington consideraba de importancia primordial estaba al que ahora conocemos como número de Eddington, que es igual al número de protones en el universo visible. Eddington calculó (a mano) este número con enorme precisión en un crucero trasatlántico, sentado en cubierta, con libreta y lápiz en la mano, tras calcular concienzudamente durante un tiempo, finalizó escibiendo:

“Creo que el Universo hay:

 

15.747.724.136.275.002.577.605.653.961.181.555.468.044.717.914.527.116.709.366.231.425.076.185.631.031.296

de protones y el mismo número de electrones”.

 

 

Este número enorme, normalmente escrito NEdd, es aproximadamente igual a 1080.  Lo que atrajo la atención de Eddington hacia él era el hecho de que debe ser un número entero, y por eso en principio puede ser calculado exactamente. A Eddington siempre le llamó la atención esos números invariantes que llamaron constantes de la Naturaleza y que tenían que ver con el electromagnetismo, la gravedad, la velocidad de la luz y otros fenómenos naturales invariantes. Por ejemplo:

La constante de estructura fina de  (símbolo \alpha) es la constante fundamental que caracteriza la fuerza de la interacción electromagnética. Es una cantidad sin dimensiones, por lo que su valor numérico es independiente del sistema de unidades usado.

La expresión que la define y el valor recomendado  es:

 

   \alpha =   \frac{e^2}{\hbar c \ 4 \pi \epsilon_0} =   7,297 352 568 \times 10^{-3} =   \frac{1}{137,035 999 11}.

donde:

  • e es la carga elemental.
  • \hbar = h/(2 \pi) es la constante racionalizada o reducida de Planck,
  • c es la velocidad de la luz en el vacío, y
  •  \epsilon_0 es la permitivdad del vacío.

 

Durante la década de 1.920, cuando Eddington empezó su búsqueda para explicar las constantes de la naturaleza, no se conocían bien las fuerzas débil y fuerte. Las únicas constantes dimensionales de la física que sí se conocían e interpretaban con confianza eran las que definían la gravedad y las fuerzas electromagnéticas. Eddington las dispuso en tres puros números adimensionales. Utilizando los valores experimentales de la época, tomó la razón entre las masas del protón y del electrón:

mpr/me ≈ 1840

La inversa de la constante de estructura fina

2πhc/e≈ 137

Y la razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza electromagnética entre un electrón y un protón,

e2/Gmpr me ≈ 1040

A estas añadió su número cosmológico, NEdd ≈ 1080. A estos cuatro números los llamó “las constantes últimas”, y la explicación de sus valores era el mayor desafío de la ciencia teórica:

 “¿Son estas cuatro constantes irreducibles, o una unificación posterior de la física que pueda demostrar que una o todas ellas podrían ser prescindibles? ¿Podrían haber sido diferentes de lo que realmente son?…  Surge la pregunta de si las razones anteriores pueden ser asignadas arbitrariamente o si son inevitables.  En el primer caso, sólo podemos aprender sus valores por medida; en el segundo caso es posible encontrarlos por la teoría…  Creo que ahora domina ampliamente la opinión de que las (cuatro anteriores) constantes… no son arbitrarias, sino que finalmente se les encontrará una explicación teórica; aunque también he oído expresar lo contrario.”

 

 

 

Medida una y mil veces, α parece que no cambia a pesar de todo

Siguiendo con su especulación Eddington pensaba que el número de constantes inexplicadas era un indicio útil del hueco que había que cerrar antes de que se descubriese una teoría verdaderamente unificada de todas las fuerzas de la naturaleza.  En cuanto a si esta teoría final contenía una constante o ninguna, tendríamos que esperar y ver:

 “Nuestro conocimiento actual de 4 constantes en lugar de 1 indica meramente la cantidad de unificación de la teoría que aún queda por conseguir. Quizá resulte que la constante que permanezca no sea arbitraria, pero de eso no tengo conocimiento.”

 

Eddington, como Max Planck, Einstein y Galileo, y Newton antes que ellos, era simplemente un adelantado a su tiempo; comprendía y veía cosas que sus coetáneos no podían percibir.

Hay una anécdota que se cuenta sobre esto y que ilustra la dificultad de muchos para reconciliar el trabajo de Eddington sobre las constantes fundamentales con sus monumentales contribuciones a la relatividad general y la astrofísica. La historia la contaba Sam Goudsmit referente a él mismo y al físico holandés Kramers:

                          Samuel Abraham Goudsmit, George Uhlenbeck y Hendrik Kramers

“El gran Arthur Eddington dio una conferencia sobre su derivación de la constante de estructura fina a partir de una teoría fundamental. Goudsmit y Kramers estaban entre la audiencia.  Goudsmit entendió poco pero reconoció que era un absurdo inverosímil. Kramers entendió mucho y reconoció que era un completo absurdo. Tras la discusión, Goudsmit se acercó a su viejo amigo y mentor Kramers y le preguntó: ¿Todos los físicos se vuelven locos cuando se hacen mayores? Tengo miedo. Kramers respondió, “No Sam, no tienes que asustarte. Un genio como Eddington quizá puede volverse loco pero un tipo como tú sólo se hace cada vez más tonto”.

 

“La historia es la ciencia de las cosas que no se repiten”.

Paul Valéry

   Aquí también están algunas de esas constantes

Los campos magnéticos están presentes por todo el Universo. Hasta un diminuto (no por ello menos importante) electrón crea, con su oscilación, su propio campo magnético, y,  aunque pequeño,  se le supone un tamaño no nulo con un radio ro, llamado el radio clásico del electrón, dado por r0 = e2/(mc2) = 2,82 x 10-13 cm, donde e y m son la carga y la masa, respectivamente del electrón y c es la velocidad de la luz.

Nuestro universo es como lo podemos observar gracias a esos números

El mayor misterio que rodea a los valores de las constantes de la naturaleza es sin duda la ubicuidad de algunos números enormes que aparecen en una variedad de consideraciones aparentemente inconexas. El número de Eddington es un ejemplo notable. El número total de protones que hay     dentro del alcance del universo observable esta próximo al número

1080

Si preguntamos ahora por la razón entre las intensidades de las fuerzas electromagnéticas y gravitatoria entre dos protones, la respuesta no depende de su separación, sino que es aproximadamente igual a

1040

En un misterio. Es bastante habitual que los números puros que incluyen las constantes de la naturaleza difieran de 1 en un factor del orden de 102, ¡pero 1040, y su cuadrado 1080, es rarísimo! Y esto no es todo. Si seguimos a Max Planck y calculamos en valor estimado para la “acción” del universo observable en unidades fundamentales de Planck para la acción, obtenemos.

10120

Supernovas, Nebulosas, Estrellas… ¡Fuerzas y Constantes fundamentales!

Algunos llegan a afirmar que, el Universo es plano e indican que la energía oscura es probablemente la constante cosmológica de Einstein…¡Vivir para ver! El maestro llegó a decir que incluir la constante cosmológica en su ecuación había sido el mayor error de su vida y, sin embargo ahora… resulta que sí estaba en lo cierto. ¡Ya veremos!

Ya hemos visto que Eddington se inclinaba a relacionar el número de partículas del universo observable con alguna cantidad que incluyera la constante cosmológica. Esta cantidad ha tenido una historia muy tranquila desde esa época, reemergiendo ocasionalmente cuando los cosmólogos teóricos necesitan encontrar una manera de acomodar nuevas observaciones incómodas.  Recientemente se ha repetido este escenario. Nuevas observaciones de alcance y precisión sin precedentes, posibilitadas por el telescopio espacial Hubble trabajando en cooperación con telescopios sensibles en tierra, han detectado supernovas en galaxias muy lejanas. Su pauta de brillo y atenuación característica permite deducir su distancia a partir de su brillo aparente. Y, sorprendentemente, resulta que están alejándose de nosotros mucho más rápido de lo que cualquiera esperaba. La expansión del universo ha pasado de ser un estado de deceleración a uno de aceleración. Estas observaciones implican la existencia de una constante cosmológica positiva (Λ+). Si expresamos su valor numérico como número puro adimensional medido en unidades del cuadrado de la longitud de Planck, entonces obtenemos un número muy próximo a

10-120

                                                            Nunca se ha encontrado un número más pequeño en una investigación física real. Podemos decir que es el más grande de los pequeños números.

Hablar del Universo en todo su conjunto…, no es nada fácil. Podemos hablar de parcelas, de elementos por separado y también de sucesos, objetos y de la mecánica celeste de manera individualizada para tratar de comprenderlos mejor y, más tarde, juntarlos para tener una perspectiva de su conjunto que… No siempre podemos llegar a comprender. ¡Es tanto lo que esas constantes nos quieren decir! que comprenderlas y entenderlo todo…, nos llevará algún tiempo.

¿Qué vamos a hacer con todos estos grandes números? ¿Hay algo cósmicamente significativo en 1040 y sus cuadrados y cubos?

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/Hermann_Weyl_ETH-Bib_Portr_00890.jpg

                                                            Hermann Weyl

La aparición de algunos de estos grandes números ha sido una fuente de sorpresas desde que fue advertida por vez primera por Hermann Weyl en 1.919. Eddington había tratado de construir una teoría que hiciera comprensible su aparición, pero no logró convencer a un número significativo de cosmólogos de que estaba en la vía correcta. Pero sí convenció a la gente de que había algo que necesitaba explicación. De forma inesperada, fue precisamente uno de sus famosos vecinos de Cambridge quien escribió a la revista Nature la carta que consiguió avivar el interés por el problema con una idea que sigue siendo una posibilidad viable incluso hoy.

                                 Paul Dirac

Paul Dirac ocupó la cátedra lucaciana de matemáticas en Cambridge durante parte del tiempo en que Eddington estuvo viviendo en los observatorios. Las historias que se cuentan de Paul Dirac dejan muy claro que era un tipo con un carácter peculiar, y ejercía de matemático las 24 h. del día. Se pudo saber que su inesperada incursión en los grandes números fue escrita durante su viaje de novios (Luna de miel), en febrero de 1937.

Aunque no muy convencido de las explicaciones de Eddington, escribió que era muy poco probable que números adimensionales muy grandes, que toman valores como 1040 y 1080, sean accidentes independientes y no relacionados: debe existir alguna fórmula matemática no descubierta que liga las cantidades implicadas. Deben ser consecuencias más que coincidencias.

Esta es la hipótesis de los grandes números según Dirac:

“Dos cualesquiera de los números adimensionales muy grandes que ocurren en la naturaleza están conectados por una sencilla relación matemática, en la que los coeficientes son del orden de la unidad”.

 

 

 

Las dos imágnrees nos hablan por sí mismas, y, sin indicaciones sobre ellas, ¿cuál es el universo y cuál el cerebro humano? Nos puede parecer mentira pero… Los verdaderos grandes números están en ¡La Mente!

Los grandes números de que se valía Dirac para formular esta atrevida hipótesis salían del trabajo de Eddington y eran tres:

N1 = (tamaño del universo observable) / (radio del electrón)

= ct (e2/mec2) ≈ 1040

N2 = Razón fuerza electromagnética-a-gravitatoria entre protón y electrón

= e2/Gme mp ≈ 1040

N = número de protones en el universo observable

= c3t/Gmp ≈ 1080

Aquí t es la edad actual del universo, me es la masa de un electrón, mp es la masa de un protón, G la constante de gravitación, c la velocidad de la luz y e la carga del electrón.

     El Universo es todo lo que existe: Materia, Tiempo y Espacio inmenrsos en un océano de fuerzas y constantes

Según la hipótesis de Dirac, los números N1, N2y raizN eran realmente iguales salvo pequeños factores numéricos del orden de la unidad. Con esto quería decir que debe haber leyes de la naturaleza que exijan fórmulas como N1 = N2, o incluso N1 = 2N2. Un número como 2 ó 3, no terriblemente diferente de 1 está permitido porque es mucho más pequeño que los grandes números implicados en la fórmula; esto es lo que él quería decir por “coeficientes….  del orden de la unidad”.

Esta hipótesis de igualdad entre grandes números no era en sí misma original de Dirac. Eddington y otros habían escrito antes relaciones muy semejantes, pero Eddington no había distinguido entre el número de partículas del universo observable, que se define como una esfera centrada en nosotros con un radio igual a la velocidad de la luz multiplicada por la edad actual del universo, o lo que es lo mismo:

Cúmulo de Galaxias Abell 2218

La trayectoria del llamado Universo Observable (y del cual somos su centro al recorrer su geodésica en la geometría espacio-temporal) tiene la forma perimetral de una gota (forma de media lemniscata; cosa curiosa, lemniscata: figura curva ∞ usada como el símbolo de infinito ¿?) que al girarla 45 ° y desarrollar un cuerpo de revolución, se obtienen dos campos toroidales cual si fuesen imágenes antagónicas (una reflejada) de una fuente (surtidor – sumidero cada uno), correspondiendo uno al campo material y el otro al antimaterial.

poderes unidos - trayectoria del universo observable poderes unidos - trayectoria del universo observable_02

               Trayectoria del Universo observable.

Lo están ocupando en su totalidad, se retroalimentan a sí mismos en la Hipersingularidad (punto de contacto de los dos campos, principio y fin de ambos flujos donde reacciona la materia y la antimateria con la finalidad de mantener separados ambos universos con el adicional resultado de impulsar nuevamente a los fluidos universales de ambos campos a recorrer la finita trayectoria cerrada (geodésica) siendo el motor propulsor universal de dos volúmenes dinámicos, finitos pero continuos).

Universo observable: R = 300.000 × 13.500.000.000

La propuesta de Dirac provocó un revuelo entre un grupo de científicos vociferantes que inundaron las páginas de las revistas especializadas de cartas y artículos a favor y en contra. Dirac, mientras tanto, mantenía su calma y sus tranquilas costumbres, pero escribió sobre su creencia en los grandes números cuya importancia encerraba la comprensión del universo con palabras que podrían haber sido de Eddington, pues reflejan muy estrechamente la filosofía de la fracasada “teoría fundamental”.

“¿No cabría la posibilidad de que todos los grandes sucesos presentes correspondan a propiedades de este Gran Número [1040] y, generalizando aún más, que la historia entera del universo corresponda a propiedades de la serie entera de los números naturales…? Hay así una posibilidad de que el viejo sueño de los filósofos de conectar la naturaleza con las propiedades de los números enteros se realice algún día”.

Cuando hablamos del Universo, de inmediato, surgen las polémicas y los desacuerdos y las nuevas ideas y teorías modernas que quieren ir más allá de lo que “se sabe”, nunca han gustado en los centros de poder de la Ciencia que ven peligrar sus estatus con ideas para ellos “peregrinas” y que, en realidad, vienen a señalar nuevos posibles caminos para salir del atolladero o callejón sin salida en el que actualmente estamos inmersos: Mecánica cuántica y Relatividad que llevan cien años marcando la pauta en los “mundos” de  lo muy pequeño y de lo muy  grande sin que nada, las haya podido desplazar.

Mientras tanto, continuamos hablando de materia y energía oscura que delata la “oscuridad” presente en nuestras mentes, creamos modelos incompletos en el que no sabemos incluir a todas las fuerzas y en las que (para cuadrar las cuentas), hemos metido con calzador y un poco a la fuerza, parámetros que no hemos sabido explicar (como el Bosón de Higgs en el Modelo Estándar que…, a pesar de todo ¡No está muy claro que esté ahí!).  Sin embargo y a pesar de todo, el conocimiento avanza, el saber del mundo aumenta poco a poco y, aunque despacio, el conocimiento no deja de avanzar y, esperemos que las ideas surjan y la imaginación en la misma medida para que, algún día en el futuro, podamos decir que sabemos, aunque sea de manera aproximada, lo que el Universo es.

No debemos dejar de lado, las Unidades de Planck, esos pequeños números que, como Tiempo de Planck…

 

 

En este ámbito hablamos de las cosas muy pequeñas, las que no se ven

 

Es el tiempo que necesita el fotón (viajando a la velocidad de la luz, c, para moverse a través de una distancia igual a la longitud de Planck.  Está dado por , donde G es la constante gravitacional (6, 672 59 (85) x 10-11 N m2 kg-2), ħ es la constante de Planck racionalizada (ħ = h/2л = 1,054589 x 10-34 Julios segundo), c, es la velocidad de la luz (299.792.458 m/s).

El valor del tiempo del Planck es del orden de 10-44 segundos.  En la cosmología del Big Bang, hasta un tiempo Tp después del instante inicial, es necesaria usar una teoría cuántica de la gravedad para describir la evolución del Universo. Todo, desde Einstein, es relativo.  Depende de la pregunta que se formule y de quién nos de la respuesta.

¿Os dais cuenta? Siempre tendremos que estar haciendo preguntas, y, desde luego, nunca podremos saberlo todo. No tener preguntas que formular, o secretos que desvelar… ¡Sería la decadencia del Ser Humano!

No debemos olvidar que: “La creciente distancia entre la imaginación del mundo físico y el mundo de los sentidos no significa otra cosa que una aproximación progresiva al mundo real.” Nosotros vivimos en nuestro propio mundo, el que forja nuestros sentidos en simbiosis con el cerebro. Sin embargo, ese otro mundo, el que no podemos “ver”, no siempre coincide con “nuestro mundo”.

emilio silvera

El placer de Descubrir: Aventurarse por nuevos caminos.

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en Física    ~    Comentarios Comments (0)

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La molécula de agua es polar en virtud principalmente de su geometria angular

“Quien ha visto las cosas presentes ha visto todo, todo lo ocurrido desde la eternidad y todo lo que ocurrirá en el tiempo sin fin; pues todas las cosas son de la misma clase y la misma ”.

Marco Aurelio

 

Claro que él, quería significar que todo, desde el comienzo del mundo, ha sido igual, sigue unos patrones que se repiten una y otra vez a lo largo del transcurso de los tiempos: el día y la noche, las estaciones, el frío y el calor, el río muerto por la sequía o aquel que, cantarino y rumoroso ve correr sus aguas cristalinas hasta que desembocan en el océano. La Bondad y la maldad… Y, también, el Hombre y la Mujer. Así ha sido desde que podemos recordar y, así continuará siendo.

Para fugarnos de la tierra

un libro es el mejor bajel;

y se viaja mejor en el poema

que en más brioso corcel.

Whitman

 

 

 

“Todo presente de una sustancia simple es naturalmente una consecuencia de su estado anterior, de modo que su presente está cargado de su futuro.”

Leibniz

 

Niels Bohr, citando a Gohete preguntaba: ¿Cuál es el camino? No hay ningún camino. Está claro el mensaje que tal pregunta y tal respuesta nos quiere hacer llegar, el camino, tendremos que hacerlo nosotros mediante la exploración hacia el futuro en el que está lo que deseamos encontrar. Hay que explorar y arriesgarse para tenemos que ir más allá de las regiones habituales y conocidas que nos tienen estancados siempre en el mismo lugar. ¡Arrisguémosno!

                             Homero nos contó como Ulises de Ítaca se arriesgó a oír el canto de las sirenas amarrado al palo de la vela mayor de su embarcación. Él no que´ria ser atraído por aquellas fuerzas malignas pero quería sentir los efectos de aquella llamada en lugar seguro. Eso nos lleva a pensar que hay un mensaje en el pasaje de Homero: Arriesgarse… ¡Sí! Pero con las precauciones necesarias. Así que, cuidado con los Robots, con los experimentos científicos de todo tipo, y, sobre todo, no debemos creer que lo sabemos todo. Tenemos que ser conscientes de que, el peligro nos acecha por todas partes.

Pero, no cabe duda alguna de que, el acto de exploración modifica la perspectiva del explorador; Ulises, Marco Polo y Colón habían cambiado cuando volvieron a sus lugares de partida . Lo mismo ha sucedido en la investigación científica de los extremos en las escalas, desde la grandiosa extensión del espacio cosmológico hasta el mundo minúsculo y enloquecido de las partículas subatómicas.

                                     Una bella galaxia espiral de cien mil años-luz de diámetro que podemos comparar con…¡Un átomo!

En ambos “universos” existe una descomunal diferencia en los extremos de las escalas. Sin embargo, la inmensa galaxia de arriba no sería posible sin la existencia de infinitesimal átomo de abajo. ¡Todo lo grande está hecho de cosas pequeñas!

Así que, cuando hacemos esos viajes, irremediablemente nos cambian, y, desde luego, desafían muchas de las concepciones científicas y filosóficas que, hasta ese momento, más valorábamos. Algunas tienen que ser desechadas, como el bagaje que se deja atrás en una larga travesía por el desierto. Otras tienen que ser modificadas y reconstruidas hasta quedar casi irreconocibles, ya que, lo que hemos podido ver en esos viajes, lo que hemos descubierto, nos han cambiado por completo el concepto y la perspectiva que del mundo teníamos, conocemos y sabemos.

La exploración del ámbito de las galaxias extendió el alcance de la visión humana en un factor de 1026 veces mayor que la escala humana, y produjo la revolución que identificamos con la relatividad, la cual reveló que la concepción newtoniana del mundo sólo era un parroquianismo en un universo más vasto donde el espacio es curvo y el tiempo se hace flexible.

La exploración del dominio subatómico nos llevó lejos en el ámbito de lo muy pequeño, a 10-15 de la escala humana, y también significó una revolución. fue la Física cuántica que, transformó todo lo que abordó.

La teoría cuántica nació en 1900, Max Planck comprendió que sólo podía explicar lo que llamaba la curva del cuerpo negro -el espectro de energía que genera un objeto de radiación perfecta- si abandonaba el supuesto clásico de que la emisión de energía es continua, y lo reemplazó por la hipotesis sin precedentes de que la energía se emite en unidades discretas. Planck llamó cuantos a estas unidades.

1) Figura animada que representa un rayo de luz incidiendo sobre un cuerpo negro hasta su total absorción. 2) En la gráfica se representa la intensidad de la radiación emitida por el cuerpo negro en función de la longitud de onda a diferentes temperaturas. El máximo de la curva aumenta al ir hacia menores longitudes de onda (Ley de Wien). Se compara con el modelo clásico de Rayleigh-Jeans a altas temperaturas (5000 K) comprobándose la llamada catástrofe del ultravioleta

La constante de Planck es una constante física que desempeña un papel central en la teoría de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, Max Plancc, uno de los padres de dicha teoría. Denotada como h, es la constante que frecuentemente se define como el cuanto elemental de acción. Planck la denominaría precisamente «cuanto de acción»

Fue inicialmente propuesta como la constante de proporcionalidad entre la energía E de un fotón y la frecuencia f de su onda electromagnética asociada. Esta relación entre la energía y la frecuencia se denomina «relación de Planck»:

E = h.f \,.

Dado que la frecuencia f, la longitud de onda \<a href=lambda” />, y la velocidad de la luz c cumplen \<a href=lambda . f = c ” />, la relación de Planck se puede expresar como:

E = \frac{hc}{\<a href=lambda}.\,” />

Otra ecuación fundamental en la que interviene la constante de Planck es la que relaciona el momento lineal p de una partícula con la longitud de onda de De Broglie λ de la misma:

\<a href=lambda = \frac{h}{p}.” />

En aplicaciones donde la frecuencia viene expresada en términos de radianes por segundo o frecuencia angular, es útil incluir el factor 1/2 dentro de la constante de Planck. La constante resultante, «constante de Planck reducida» o «constante de Dirac», se expresa como ħ (“h barra“):

\hbar = \frac{h}{2 \pi}.

De esta forma la energía de un fotón con frecuencia angular \<a href=omega” />, donde \<a href=omega = 2 \pi . f” />, se podrá expresar como

E = \hbar \<a href=omega.” />

Por otro lado, la constante de Planck reducida es el cuanto del momento angular en mecánica cuántica.

Ley de Planck a diferentes temperaturas en función de la frecuencia para la radiación del cuerpo negro

Planck definió a “sus”0 cuantos en términos del “cuanto de acción”, simbolizado por la letra h que ahora, se ha convertido en el símbolo de una constante,  la constante de Planck, h.  Planck no era ningún revolucionario – a la edad de cuarenta y dos años era un viejo, juzgado por patrones de la ciencia matemática y, además, un pilar de la elevada cultura alemana del siglo XIX-, pero se percató fácilmente de que el principio cuántico echaría abajo buena de la física clásica a la que había dedicado la mayor parte de su carrera. “Cuanto mayores sean las dificultades -escribió-…tanto más importante será finalmente para la ampliación y profundización de nuestros conocimientos en la física.”

Sus palabras fueron proféticas: cambiando y desarrollándose constantemente, modificando su coloración de manera tan impredecible como una reflexión en una burbuja de , la física cuántica pronto se expandió practicamente a todo el ámbito de la física, y el cuanto de acción de Planck, h llegó a ser considerado una constante de la Naturaleza tan fundamental como la velocidad de la luz, c, de Einstein.

           Dos buenos amigos, dos genios

Max Planck es uno de los científicos a los que más veces se le han reconocido sus méritos y, su , está por todas partes: La Constante de Planc, las Unidades de Planck, El cuanto de Planck, la Radiación de Planck, El Teimpo de Planck, la masa de Planck, la Energía de Plancik, la Longitud de Planck… ¡Todo merecido!

Confinados en nuestro pequeño mundo, una mota de polvo en la inmensidad de una Galaxia grandiosa que, a su vez, forma parte de un universo “infinito”, hemos podido darnos traza para poder saber, a pesar de las enormes distancias, sobre lo que existe en regiones remotas del Universo.  Un Universo formado por Supercúmulos de galaxias que formadas en grupos conforman la materia visible, y, dentro de cada una de esas galaxias, como si de universos se tratara, se reproducen todos los objetos y fenómenos que en el Universo son.

The Scale of the Universe 2 – HTwins.net

sigamos con la escala del Universo conocido y hagamos un pequeño esquema que lo refleje: El Universo Observable, la mayor escala que abarca más de 100 mil trillones de kilómetros (según nos cuenta Timothy Ferris:

Radio en metros                                                                   Objetos característicos

1026                                                                                                 Universo observable

1024                                                                                                 Supercúmulos de Galaxias

1023                                                                                                 Cúmulos de Galaxias

1022                                                                                                 Grupo de Galaxias (por ejemplo el Grupo Local)

1021                                                                                                  Galaxia La Vía Láctea

Nube Molecular gigante muy masiva, de gas y polvo compuesta fundamentalmente de moléculas con diámetro típico de 100 a.l. Tienen masa de diez millones de masas solares (moléculas de Hidrógeno (H2) el 73% en masa), átomos de Helio (He, 25%), partículas de polvo (1%), Hidrógeno atómico neutro (H I, del 1%) y, un rico coctel de moléculas interestelares. En nuestra galaxia existen al menos unas 3000 Nubes Moleculares Gigantes, estando las más masivas situadas cerca de la radiofuente Sagitario B en el centro Galáctico.

1018                                                                                                  Nebulosas Gigantes, Nubes Moleculares

1012                                                                                                                                                   Sistema Solar

1011                                                                                                  Atmósfera externa de las Gigantes rojas

   Aunque a una Unidad Astronómica de distancia (150 millones de Kilómetros de la Tierra), el Sol caliente el planeta y nos da la vida

109                                                                                                  El Sol

108                                                                                                  Planetas Gigantes Júpiter

107                                                                                                  Estrellas enanas,  planetas similares a la Tierra

105                                                                                                  Asteroides, núcleos de cometas

104                                                                                                  Estrellas de Neutrones

                                Los seres humanos son parte del Universo que queremos descubrir.

1                                                                                                      Seres Humanos

10-2                                                                                                Molécula de ADN (eje largo)

10-5                                                                                                Células vivas

                                                                                      Células vivas

10-9                                                                                                Molécula de ADN (eje corto)

10-10                                                                                              Átomos

10-14                                                                                             Núcleos de átomos pesados

10-15                                                                                             Protones y Neutrones

10-35                                                                                            Longitud de Planck: cuanto de espacio; radio de partículas sin dimensiones = la cuerda.

Es la escala de longitud a la que la descripción clásica de la Gravedad cesa de ser válida y debe ser tenida en la mecánica cuántica. Está dada por la ecuación de arriba, donde G es la constante gravitacional, ħ es la constante de Planck racionalizada y c es la velocidad de la luz. El valor de la longitud de Planck es del orden de 10-35 m (veinte órdenes de magnitud menorque el tamaño del protón 10-15 m).

Me llama la atención y me fascina la indeterminación que está inmersa en el mundo cuántico. La indeterminación cuántica no depende del aparato experimental empleado investigar el mundo subatómico. Se trata, en la medida de nuestro conocimiento, de una limitación absoluta, que los más destacados sabios de una civilización extraterrestre avanzada compartirían con los más humildes físicos de la Tierra.

Por muy avanzados que pudieran estar, ellos también estarían supeditados al Principio de Incertidumbre o Indeterminación cuántica, y, como nosotros, cuando trataran de encontrar (sea cual fuese las matemáticas o sistemas que emplearan para hallarlo) el resultado de la constante de estructura fina, el resultado sería el mismo: 137, puro y adimensional.

Todo esto nos ha llevado a la más firme convicción definir la visión del mundo de la física que nos revelaba que no sólo la materia y la energía sino que también el conocimiento están cuantizados. Cuando un fotón choca con un átomo, haciendo saltar un electrón a una órbita más elevada, el electrón se mueve de la órbita inferior a la superior instantáneamente, sin tener que atravesar el espacio intermedio. Los mismos radios orbitales están cuantizados, y el electrón simplemente deja de existir en un punto para aparecer simultáneamente en otro. Este es el famoso “salto cuántico” que tanto desconcierta, y no es un mero problema filosófico, es una realidad que, de , no hemos llegado a comprender.

                                                     No, esto no es un salto cuántico. Simplemente le tocó la Lotería

Pero, ¿quién sabe? Quizás un día lejano aún en el tiempo, cuando descubramos el secreto que salto cuántico nos esconde, poderemos aprovechar la misma técnica que emplea la Naturaleza con los electrones hacer posible que se transporten de un lugar a otro sin tener que recorrer las distancias que separan ambos destinos.

                               Estaría bien poder trasladarse las estrellas por ese medio

Bueno, pongamos los pies en el suelo, volvamos a la realidad. La revolución cuántica ha sido penosa, pero podemos agradecerle que, nos haya librado de muchas ilusiones que afectaban a la visión clásica del mundo. Una de ellas era que el hombre es un ser aparte, separado de la naturaleza a la que en realidad, no es que esté supeditado, sino que es, ella. ¡Somos Naturaleza!

Está claro, como nos decía Immanuel Kant que:

La infinitud de la creación es suficientemente grande como para que un mundo, o una Vía Láctea de mundos, parezca, en comparación con ella, lo que una flor o un insecto en comparación con la Tierra.”

Algún día podríamos desaparecer en una especie de plasma como ese de la imagen y salir al “otro lado” que bien (¡Por qué no) podría ser otra galaxias lejana. Creo que la imaginación se nos ha dado para algo y, si todo lo que podemos imaginar se realizar, la conclusión lógica es que sólo necesitamos ¡Tiempo!

Sí, amigos míos, la Naturaleza vive en constante movimiento, y, nosotros, que formamos de ella…También. Tenemos que llegar a conocerla.

 

 

Existen muchos mundos con dos soles, ¿cómo será vivir en uno de ellos?

 

En tiempos y lugares totalmente inciertos,

Los átomos dejaron su camino celeste,

Y mediante abrazos fortuítos,

Engendraron todo lo que existe.

Maxwell

Doy las gracias a Timothy Ferris de cuyo libro, la Aventura del Universo, he podido obtener bellos pasajes que aquí, quedan incluídos.

emilio silvera

¡La Física! Esa gran disciplina científica

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en Física    ~    Comentarios Comments (0)

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Publicación Actual No. 16

Superfluidez en estrellas de neutrones Dany P. Page
Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Astronomía
 

Estrellas de Neutrones

Las estrellas de neutrones son los objetos más densos observables en el Universo. Sólo son superadas por el interior de los hoyos negros, que no es observable. En colisiones relativistas de iones pesados, en RHIC o en el LHC, es posible alcanzar densidades superiores, pero con una enorme densidad de energía (cientos de GeV por nucleón), mientras que la materia en el interior de una estrella de neutrones es altamente degenerada.

En la Fig. 1 se presenta lo que, teóricamente, consideramos es la estructura de una estrella de neutrones. Con un radio de unos 10 km, el 98% de la masa se encuentra a densidades supra-nucleares en el núcleo de la estrella, mientras que una capa de aproximadamente un kilómetro de espesor, la corteza, está formada de núcleos atómicos. En la superficie tenemos una atmósfera, de unos cuantos centímetros de espesor, donde se forma el espectro térmico que podemos observar. A una densidad ρ ~ 104g cm-3 la materia está totalmente ionizada y cuando ρ ~ 106g cm-3 los electrones forman un gas de Fermi relativista. Dada la enorme energía en este gas de electrones, resulta energéticamente favorable fusionar parte de los electrones con protones, lo que resulta en núcleos cada vez mas ricos en neutrones conforme aumenta la densidad. Cuando ρ ~ 5×1011g cm-3, el número de neutrones es tal que no caben mas en los núcleos. Hemos alcanzado el punto de “goteo” de neutrones, donde además de los núcleos y el gas de electrones, tenemos un gas “libre” de neutrones. Al acercarse a la densidad nuclear, ρ0 ~ 2.8×1014g cm-3 los núcleos se fusionan y entramos al “núcleo” de la estrella (“core” en ingles). En la zona de transición es muy probable que encontremos núcleos no esféricos, muy alargados (“espaguetis”) y bidimensionales (“lasañas”), lo que comúnmente se llama la fase “pasta” (ver recuadro “A” en la Fig. 1). Dadas las altas presiones en la corteza ésta debe ser sólida, muy probablemente en forma cristalina (recuadro “B” en la Fig. 1).

Figura 1. Visión “artística” de una estrella de neutrones. (D. Page, en “Fronteras del Universo”, Ed. M. Peimbert, 2000, Fondo de Cultura Económica)

 

En el núcleo de la estrella, empezamos con un líquido cuántico de neutrones, protones y electrones. Las interacciones débiles, tipo β, como

 

 

permiten ajustar las densidades nn y np de nucleones. Debido a las diferencias de masas, la primera de estas reacciones ocurre espontáneamente en el vacío mientras que la segunda requiere de energía cinética en el estado inicial. En un medio denso las energías relevantes no son las masas, sino los potenciales químicos de las partículas, los cuales incluyen la masa, la energía cinética de Fermi y la energía potencial. Esta última requiere de un modelo de las interacciones fuertes a densidades supra-nucleares; el equilibrio energético y efecto de las reacciones β, determinan nn y np. El resultado es que a ρ = &rho0 los nucleones se distribuyen en una proporción de 5% de protones por 95% de neutrones, aunque la fracción de protones aumenta con la densidad. Nuevas partículas pueden aparecer a mayores densidades, como hiperones o condensados de mesones (π – o K -). El núcleo interior de la estrella, está marcada en oscuro en la Fig. 1, con un gran signo de interrogación, ya que existe la posibilidad de se alcance la densidad suficiente para inducir desconfinamento de los quarks. Refiero el lector a [1] para más detalles y referencias a los trabajos originales.

Neutrinos

 

Producidas en explosiones de supernovas, con temperaturas iniciales superiores a los 50 MeV ~ 50×1010 K, las estrellas de neutrones jóvenes se enfrían por emisión de neutrinos, hasta llegar a una edad de unos 100,000 años, a partir de lo cual la pérdida de energía por emisión de fotones térmicos en la superficie empieza a dominar. El proceso de emisión de neutrinos más eficiente es el descrito en la Eq. (1), llamado “Urca directo”, con una emisividad εDUrca ≈ 1027 (T/109 K)6 erg cm-3 s-1.Esto implica que un metro cúbico de materia podría producir una luminosidad (L = 3.8×1033 erg s-1) de neutrinos cuando T=109 K. Sin embargo, la reacción (1) tiene una fuerte limitante: la conservación del momento, la cual requiere un concentración de protones superior al 15%; por lo cual el proceso Urca directo está cinematicamente prohibido. Sin embargo, existen procesos como

 

que proporcionan el momento faltante, aquí el neutrón n’ es una partícula del medio. Nótese que el proceso (2), llamado “Urca modificado” por involucrar dos fermiones degenerados, comparado con el proceso (1) es mucho menos eficiente, εMUrca ≈ 1021 (T/109 K)8 erg cm-3 s-1, con una dependencia en la temperatura de la forma T8 en lugar de T6. El proceso (2) es el mecanismo estándar de enfriamiento y el proceso (1) soló actua a densidad altas, es decir en estrellas muy masivas.

 

Superfluidez y Superconductividad

 

La teoría BCS de superconductividad está basada en la formación de pares de Cooper y en la aparición de una brecha Δ(T) en elespectro de excitaciones, cuando la interacción entre fermiones es atractiva. La presencia de una brecha y consecuentemente la existencia de pares de Cooper en núcleos fue observada en 1958, poco tiempo después de la formulación de la teoría BCS y es un ingrediente esencial en los modelos de estructura nuclear. Para momentos p<1.5 fm-1 la interacción nuclear n-n o p-p es atractiva en el canal 1S0 (en notación espectroscópica: singlete de espín, momento angular orbital L=0 y J=L+S=0). Esto lleva a predecir que los neutrones deben de formar un superfluido en la corteza interna de una estrella de neutrones mientras que los protones, debido a su baja concentración, formarían un superconductor en el núcleo exterior. En el núcleo de la estrella el momento de Fermi de los neutrones es superior a 1.5 fm-1 y el canal 1S0 se vuelve repulsivo. Sin embargo la formación de pares de Cooper en triplete de espín, en el canal atractivo 3P2, es posible. A mas altas densidades es probable que los hiperones y/o los quarks formen superfluidos/superconductores. El interior de una estrella de neutrones es un paraíso para pares de Cooper, pero el calcular precisamente el tamaño de la brecha Δ(T), y el valor de Tc, es una pesadilla para el físico teórico. El caso del helio-3 es un ejemplo de ello y en el caso del apareamiento 3P2 de los neutrones a densidades supra-nucleares las predicciones para Δ van desde casi 0 hasta más de 5 MeV.

La presencia de una brecha Δ en el espectro de excitaciones implica que cuando T<<Tc estas son fuertemente suprimidas, aproximadamente por un factor de Boltzmann exp (-Δ(T)/T). En consecuencia, el calor específico Cv, así como todos los procesos de emisión de neutrinos en los cuales esta componente apareada participa, están exponencialmente suprimidos. Sin embargo, la transición de fase es de segundo orden, es decir continua. Cuando T ~ Tc, como es bien conocido en el caso de los superfluidos/superconductores terrestres, el calor específico Cv aumenta en un factor del orden 2.5. Otro aspecto del desarrollo progresivo del condensado es el constante rompimiento y formación de pares de Cooper, cuando T ~ Tc , y la posibilidad de que el condensado decaiga en un par neutrino – anti-neutrino:

 

donde <nn´> representa el condensado de pares de Cooper. Este “proceso de Cooper” puede ser mas eficiente que el Urca modificado (2) por mas de un orden de magnitud.

 

Enfriamiento y Superfluidez

Esta breve descripción permite esbozar el panorama de la evolución térmica de estrellas de neutrones: a partir de su nacimiento se enfrían por emisión de neutrinos y cuando alcanzan edades del orden de 105 años su evolución se determina por la emisión superficial de fotones.

La tasa de emisión de neutrinos es muy sensible a la composición de la materia a densidades supra-nucleares: cualquier cambio a la composición relativa de neutrones a protones resulta en emisividades de neutrinos altísimas y enfriamiento muy rápido. Tenemos un zoológico completo de modelos de materia ultra densa, casi todos prediciendo un enfriamiento rápido. Por otra parte, el enfriamiento rápido puede ser moderado por el apareamiento de las partículas, mientras la brecha, o la temperatura crítica, sea suficientemente grande. Nos encontramos con el problema de la casi imposibilidad de calcular con suficiente precisión el tamaños de las brechas relevantes y el hecho de que la emisión de neutrinos es controlada por estas brecha de manera exponencial. Las dos revisiones [2] y [3] presentan mas detalles sobre los mecanismos de enfriamiento.

Del lado observacional, tenemos una docena de estrellas de neutrones jóvenes con temperaturas estimadas. Sus altas temperaturas superficiales, entre 0.5 y 2×106 K, indican que ningún proceso Urca directo está actuando en ellas, al menos que esté fuertemente suprimido por apareamiento de las partículas que participen en el proceso. El “modelo mínimo” de enfriamiento [4] fue desarrollado con el fin de presentar un punto de referencia con el cual comparar estas observaciones e identificar posibles candidatas a estrellas conteniendo algún tipo de materia “exótica”. Este modelo excluye a priori cualquier forma de materia densa que resulte en enfriamiento rápido, es decir una alta concentración de protones, condensados de mesones, hiperones y quarks desconfinados. Sin embargo considera el efecto de la superconductividad / superfluidez de protones / neutrones, es decir el apareamiento, y el aumento en la emisión de neutrinos por el proceso de Cooper durante la transición de fase. Resulta que los procesos Urca modificados por si mismos no son suficientemente eficientes para explicar la evolución de las estrellas mas frías pero sí se pueden interpretar las observaciones tomando en cuenta el proceso de Cooper, bajo una condición: la temperatura crítica máxima, Tc, para el apareamiento 3P2 de los neutrones debe estar entre 1/2 y 2×109 K [5]. En este rango de valores de Tc el proceso de Cooper domina el enfriamiento a edades entre unos cientos hasta unas decenas de miles de años de edad.

En el caso contrario debemos suponer la presencia de algún tipo de materia extra para entender la evolución de estas estrellas de neutrones jóvenes. En conclusión, hasta hace poco tiempo nos encontrábamos en una situación que requería de alguna nueva pista para poder avanzar.

El Caso de Cas A

Casiopeia A es un remanente de supernova en la constelación de Casiopeia. Por su interés astronómico, la NASA decidió inaugurar el satélite de rayos X Chandra, su “primera luz”, con una imagen de este remanente en agosto del 1999 (ver Fig. 2). ¡En el centro de la imagen apareció la estrella de neutrones, “Cas A”, formada por la supernova! Con una edad de unos 330 años es la estrella de neutrones más joven conocida. Al analizar 10 años de observaciones del remanente, y de su estrella, Craig Heinke y Wynn Ho encontraron que Cas A se había enfriado en un 4% del año 2000 al 2009 [5] y que ¡su flujo se había reducido en un 20%! Esta evolución es inconmpatible con casi todas la predicciones teóricas.

Figura 2. El remanente de supernova Casiopeia A en rayos X: primera luz de Chandra, en agosto del 1999. El punto brillante en su centro es la estrella de neutrones, descubierta en esta observación. (Crédito: NASA/CXC/SAO)

 

 

La luminosidad térmica de fotones de la estrella es LX ≈ 1034 erg s-1 mientras que la tasa de enfriamiento observada, junto con una estimación del calor específico, requiere que la estrella esté perdiendo energía térmica a una tasa de 1038 erg s-1. ¿Cuál puede ser el agente de enfriamiento que supere al de fotones por 4 órdenes de magnitud? Sólo puede ser la emisión de neutrinos.

Aunque un comportamiento como el de Cas A es sorprendente, había sido descrito teóricamente con anterioridad (ver, e.g., la Fig. 6 en [5] o Fig. 8 en [2]). Después de afinar detalles, la interpretación resulto clara [7,8]: tras un lento enfriamiento previo, la temperatura interna T de Cas A alcanzó, en las últimas décadas, la temperatura crítica de superfluidez de los neutrones, Tc, lo cual disparó la fuerte emisión de neutrinos por el proceso Cooper. La figura 3 ilustra esto con tres modelos: a edades superiores a los 100 años, sin superfluidez (“Tc=0”), el enfriamiento es lento; al contrario, con una Tc demasiado alta (“Tc=109 K” ), el enfriamiento rápido ocurre demasiado temprano y posteriormente el enfriamiento es también lento; mientras que con Tc=5.5×108 K el enfriamiento rápido, pero transitorio, ajusta perfectamente las observaciones. Además de ser, posiblemente, la primera evidencia directa de la existencia de superfluidez a densidades supra-nucleares, esto nos proporciona una “medición” bastante robusta de la temperatura crítica Tc para los neutrones y los detalles del enfriamiento rápido implican también que los protones deben de ser superconductores con una temperatura crítica más alta. Si la interpretación resiste al tiempo, y el enfriamiento continua durante varias décadas como lo predice el modelo, estaríamos viendo en tiempo real una gran concentración de neutrones pasando por la transición de fase de superfluidez.

Figura 3. Tres modelos de enfriamiento, temperatura efectiva “al infinito” Te vs edad: ver texto para descripción. La estrella marca el valor observado de Cas A y el recuadro detalla el ajuste del modelo con las cinco observaciones de Chandra. (Adaptado de la Ref. [8])

 

El Futuro: ¿Exótico?

 

Lo bizarro de un superfluido estelar ha recibido mucha cobertura mediática (ver, e.g., [9]). Sin embargo, lo más importante de estos resultados es que podemos, por lo menos en el caso de Cas A, borrar la zona oscura y el signo “?” en el centro de la Fig. 1. Hace seis meses estábamos todavía caminando en medio de una jungla de modelos, pero sólo uno de ellos parece sobrevivir a la observación del enfriamiento de Cas A que podría ser la “Piedra de Rosetta” de la física de materia ultra-densa. Es ciertamente sólo media piedra: hay evidencias de estrellas que sufren emisión de neutrinos todavía mucho más intensa como son los casos de SAX J1808.4-3658 y 1H 1905+00. Estos dos objetos están en sistemas binarios con acreción transitoria: cuando termina una fase de acreción esperamos ver la superficie caliente de la estrella, estrellas de primera generación como Cas A. Al considerar densidades más altas, alcanzadas en estrellas más masivas, el signo “?” vuelve a aparecer. Sin embargo, el entender con un sorprendente lujo de detalle, la estructura y la evolución de una estrella “mínima” como Cas A, nos abre el camino para identificar más claramente objetos realmente “exóticos”.

Referencias:

[1] Page, D., & Reddy, S., “Dense Matter in Compact Stars: Theoretical Developments and Observational Constraints”, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 56, 327, (2006)

[2] Yakovlev, D. G., & Pethick, C. J., “Neutron Star Cooling”, Annu. Rev. Astronom. & Astrophys. 42, 169, (2004)

[3] Page, D., Geppert, U., & Weber, F., “The Cooling of Compact Stars”, Nucl. Phys. A 777, 497, (2006), numero especial sobre Nuclear Astrophysics.

[4] Page, D., Lattimer, J. M., Prakash, M., & Steiner, A. W., “Minimal Cooling of Neutron Stars: A New Paradigm”, Astrophys. J. Suppl. 155, 623, (2004).

[5] Page, D., Lattimer, J. M., Prakash, M., & Steiner, A. W., “Neutrino Emission from Cooper Pairs and Minimal Cooling of Neutron Stars”, Astrophys. J. 707, 1131, (2009)

[6] Heinke, C. O., & Ho, W. C. G., “Direct Observation of the Cooling of the Cassiopeia A Neutron Star”, Astrophys. J. Lett. 719, 167, (2010)

[7] Shternin, P. S., Yakovlev, D. G., Heinke, C. O., Ho, W. C. G., & Patnaude, D. J., “Cooling Neutron Star in the Cassiopeia-A Supernova Remnant: Evidence for Superfluidity in the Core”, Mon. Not. Roy. Astron. Soc.: Lett. 412, 108, (2011)

[8] Page, D., Prakash, M., Lattimer, J. M., & Steiner, A. W., “Rapid Cooling of the Neutron Star in Cassiopeia A Triggered by Neutron Superfluidity in Dense Matter”, Phys. Rev. Lett. 106, 081101, (2011)

[9] “Cassiopeia A: NASA’s Chandra Finds Superfluid in Neutron Star’s Core”: http://chandra.harvard.edu/photo/2011/casa/