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Las misteriosas funciones modulares

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en Física    ~    Comentarios Comments (11)

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Al manipular los diagramas de lazos de Kikkawa, Sakita y Virasoro creados por cuerdas en interacción, allí están esas extrañas funciones modulares en las que el número 10 aparecen en los lugares más extraños.

Estas funciones modulares son tan misteriosas como el hombre que las investigó, el místico del Este.  Quizá si entendiéramos mejor el trabajo de este genio indio, comprenderíamos por qué vivimos en nuestro Universo actual.

El misterio de las Funciones Modulares podría ser explicado por quien ya no existe, Srinivasa Ramanujan, el hombre más extraño del mundo de los matemáticos.  Igual que Riemann, murió antes de cumplir cuarenta años, y como Riemann antes que él trabajó en total aislamiento, en su universo particular de números y fue capaz de reinventar por sí mismo lo más valioso de cien años de matemáticas occidentales que, al estar aislado del mundo en las corrientes principales de los matemáticos, le eran totalmente desconocidos, así que, los buscó sin conocerlos.  Perdió muchos años de su vida en redescubrir matemáticas conocidas.

Dispersas entre oscuras ecuaciones en sus cuadernos están estas funciones modulares,  que figuran entre los más extraños jamás encontradas en matemáticas.   Ellos reaparecen en los ramos más distantes e inconexos de las matemáticas.  Una función, que aparece una y otra vez en la teoría de las funciones modulares, se denominan (como ya he dicho otras veces) hoy día “función de Ramanujan” en su honor.  Esta extraña función contiene un término elevado a la potencia veinticuatro.

El número 24 aparece repetidamente en la obra de Ramanujan.  Este es un ejemplo de lo que las matemáticas llaman números mágicos,  que aparecen continuamente, donde menos se esperan, por razones que nadie entiende.   Milagrosamente, la función de Ramanujan aparece también en la teoría de cuerdas.   El número 24 que aparece en la función de Ramanujan es también el origen de las cancelaciones milagrosas que se dan en la teoría de cuerdas.  En la teoría de cuerdas, cada uno de los veinticuatro modos de la función de Ramanujan corresponde a una vibración física de la cuerda.  Cuando quiera que la cuerda ejecuta sus movimientos complejos en el espacio-tiempo dividiéndose y recombinándose, deben satisfacerse un gran número de identidades matemáticas altamente perfeccionadas.   Estas son precisamente las entidades matemáticas descubiertas por Ramanujan.  (Puesto que los físicos añaden dos dimensiones más cuando cuentan el número total de vibraciones que aparecen en una teoría relativista, ello significa que el espacio -tiempo debe tener 24 + 2 = 26 dimensiones espacio – temporales.)

Para comprender este misterioso factor de dos (que añaden los físicos consideramos un rayo de luz que tiene dos modos físicos de vibración.  La luz polarizada puede vibrar, por ejemplo, o bien horizontal o bien verticalmente.  Sin embargo, un campo de Maxwell relativista Aµ tiene cuatro componentes, donde µ = 1, 2, 3, 4.  Se nos permite sustraer dos de estas cuatro componentes utilizando la simetría gauge de las ecuaciones de Maxwell.  Puesto que 4 – 2 = 2, los cuatro campos de Maxwell originales se han reducido a dos.  Análogamente, una cuerda relativista vibra en 26 dimensiones.  Sin embargo, dos de estos modos vibracionales pueden ser eliminados cuando rompemos la simetría de la cuerda, quedándonos con 24 modos vibracionales que son las que aparecen en la función de Ramanujan.

Cuando se generaliza la función de Ramanujan, el 24 queda reemplazado por el número 8.   Por lo tanto, el número crítico para la supercuerda es 8+2=10.  Este es el origen de la décima dimensión que exige la teoría.   La cuerda vibra en diez dimensiones porque requiere estas funciones de Ramanujan generalizadas para permanecer auto consistente.  Dicho de otra manera, los físicos no tienen la menor idea de por qué 10 y 26 dimensiones se seleccionan como dimensión de la cuerda.   Es como si hubiera algún tipo de numerología profunda que se manifestara en estas funciones que nadie comprende.  Son precisamente estos números mágicos que aparecen en las funciones modulares elípticas los que determinan que la dimensión del espacio – tiempo sea diez.

En el análisis final, el origen de la teoría decadimensional es tan misterioso como el propio Ramanujan.  Si alguien preguntara a cualquier físico del mundo por qué la naturaleza debería existir en diez dimensiones, estaría obligado a responder “No lo se”.  Se sabe en términos difusos, por qué debe seleccionarse alguna dimensión del espacio tiempo (de lo contrario la cuerda no puede vibrar de una forma cuánticamente autoconsistente), pero no sabemos por que se seleccionan estos números concretos.

Quizá la respuesta a todo esto esté esperando a ser descubierta cuando alguien (algún genio matemático como Perelman) sea capaz de entender el contenido de los cuadernos perdidos de Ramanujan.

Srinivasa Ramanujan nació en 1.887 en Erode, India, cerca de Madrás.  Su familia de clase media alta, brahmin, la más alta de las castas Hindúes, fueron destituidos y venidos a menos, su padre trabajaba de oficinista de un comerciante de tejidos.

Con diez años, lo mismo que pasó antes con Riemann, ya destacaba y sorprendía a todos con sus enormes poderes de cálculos.   Siendo niño, rederivó la identidad de Euler entre funciones trigonométricas y exponenciales.

En la vida de cada científico joven hay un punto de partida, un hecho que, sin ellos saberlo, les marca el destino.  Para Einstein fue la fascinación que le causó la brújula que le regaló su tío cuando estaba enfermo siendo un niño, no podía apartar la mirada de la aguja que siempre indicaba hacia el mismo sitio, y se preguntó una y mil veces por la fuerza invisible que la obligaba a dirigirse hacia esa dirección. Para Riemann, fue la lectura del libro de matemáticas de Legendre.  Para Ramanujan, fue cuando se sumergió en un oscuro y olvidado libro de matemáticas escrito por George Carr.   Este libro ha quedado inmortalizado desde entonces por el hecho de que señaló la única exposición conocida de Ramanujan a los modernas matemáticas occidentales.   Según su hermana: “Fue este libro el que despertó su genio.  El se propuso establecer por sí mismo las fórmulas dadas allí.  Como no tenía la ayuda de otros libros, cada solución era un trabajo de investigación por lo que a él concernía…  Ramanujan solía decir que la diosa Namakkal le inspiraba las fórmulas en sueños”.

Con ayuda de amigos, Ramanujan consiguió un puesto de bajo nivel del puerto de Madrás.   Era un trabajo servil, con una mísera paga de 20 libras al año, pero dio libertad a Ramanujan, como a Einstein antes que él en la oficina de Patentes Suiza, para seguir sus sueños en su tiempo libre.   Ramanujan, en la fascinación que en él ejercían los números, era incansable, llenaba libretas enteras de cálculos y ecuaciones que antes veía florecer en su cabeza.

Así estaban las cosas cuando decidió escribir algunos de sus trabajos a las tres matemáticos más famosos de Inglaterra y Europa.

Dos de aquellos matemáticos, al tener en su poder las cartas enviadas por un miserable empleado sin instrucción formal alguna, sin haber comprobado su contenido, las arrojaron directamente a la basura.   El tercero era el brillante matemático de Cambridge Godfrey Harold Hardy. Debido a su categoría en Inglaterra, Hardy estaba acostumbrado a recibir correo de chiflados proponiéndole los más peregrinos proyectos y, en un primer momento apenas prestó atención a la carta del joven Ramanujan.

Entre los densos garabatos advirtió muchos teoremas matemáticos que ya eran bien conocidos.  Pensando que era la obra obvia de un plagiario, el también la desechó en ese primer impulso.   Pero había algo que no encajaba.  Algo que inquietaba a Hardy; no podía dejar de pensar en aquella extraña carta.

Durante la cena de esa noche, 16 de enero de. 1913, Hardy y su colega John Littlewood discutieron esta carta singular y decidieron echar un segundo vistazo – repaso a su contenido.   Comenzaba de forma bastante inocente, con “Me permito presentarme a usted como un empleado en el departamento de contabilidad de la oficina del puerto franco de Madrás con un salario de solo veinte libras al año”.   Pero la carta del pobre empleado de Madrás contenía teoremas que eran totalmente desconocidos para los matemáticos occidentales.  En total, contenía 120 teoremas.  Hardy estaba atónito.  Recordaba que demostrar algunos de esos teoremas “Me derrotó por completo”.  “Nunca había visto nada antes que se le pareciera en lo más mínimo.   Una simple ojeada a ellos es suficiente para mostrar que sólo podían estar elaborados por un matemático muy grande”.

Littlewood y Hardy alcanzaron la misma conclusión: Aquello era el trabajo de un genio empeñado en derivar de nuevo 100 años de matemáticas europeas. “Él había estado llevando a cabo una carrera imposible, un pobre y solitario hindú, completamente solo y sin ayuda, enfrentando su cerebro contra toda la sabiduría acumulada en Europa”, recordaba con asombro Hardy.

Hardy escribió a Ramanujan y, tras muchas pesquisas, uso de amistades e influencias, arregló su estancia en Cambridge en 1.914.  Por primera vez, Ramanujan podía comunicarse regularmente con sus iguales, la comunidad de los matemáticos europeos.  Entonces comenzó el estallido de su actividad: tres cortos e intensos años de colaboración con Hardy en el Trinity Collage en Cambridge.

Hardy trató más tarde de estimar la capacidad matemática que poseía Ramanujan.   Concedió a David Hilbert, universalmente conocido y reconocido como uno de los mayores matemáticos occidentales del siglo XIX, una puntuación de 80.   A Ramanujan le asignó una puntuación de 100.  Así mismo, Hardy se concedió un 25.

Por desgracia, ni Hardy ni Ramanujan parecían interesados en la psicología a los procesos de pensamiento mediante los cuales Ramanujan descubría estos increíbles teoremas, especialmente cuando este diluvio material brotaba de sus sueños con semejante frecuencia.   Hardy señaló: “Parecía ridículo importunarle sobre como había descubierto este o ese teorema conocido, cuando él me estaba mostrando media docena cada día, de nuevos teoremas”.

Hardy recordaba vivamente:

-”Recuerdo una vez que fui a visitarle cuando estaba enfermo en Putney.  Yo había tomado el taxi número 1.729, y comenté que el numero me parecía bastante feo, y que esperaba que no fuese mal presagio.”

- No. -Replicó Ramanujan postrado en su cama-. Es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como una suma de dos cubos en dos formas diferentes.

(Es la suma de 1 x 1 x 1  y 12 x 12 x 12, y también la suma de 9 x 9 x 9  y  10 x 10 x 10).

Era capaz de recitar en el acto teoremas complejos de aritmética cuya demostración requeriría un ordenador moderno.

En 1.919 volvió a casa, en la India, donde un año más tarde murió  enfermo.

El legado de Ramanujan es su obra, que consta de 4.000 fórmulas en cuatrocientas páginas que llenan tres volúmenes de notas, todas densamente llenas de teoremas de increíble fuerza pero sin ningún comentario o, lo que es más frustrante, sin ninguna demostración.  En 1.976, sin embargo, se hizo un nuevo descubrimiento.   Ciento treinta páginas de borradores, que contenían los resultados del último año de su vida, fueron descubiertas por casualidad en una caja en el Trinity Collage.   Esto se conoce ahora con el nombre de “Cuaderno Perdido” de Ramanujan.

Comentando este cuaderno perdido, el matemático Richard Askey dice: “El trabajo de este año, mientras se estaba muriendo, era el equivalente a una vida entera de un matemático muy grande”.  Lo que él consiguió era increíble.  Los matemáticos Jonathan Borwien y Meter Borwein, en relación a la dificultad y la ardua tarea de descifrar los cuadernos perdidos, dijeron: “Que nosotros sepamos nunca se ha intentado una redacción matemática de este alcance o dificultad”.

Por mi parte creo que, Ramanujan, fue un genio matemático muy adelantado a su tiempo y que pasaran algunos años hasta que podamos descifrar al cien por ciento sus trabajos, especialmente, sus funciones modulares que guardan el secreto de la teoría más avanzada de la física moderna,   la única capaz de unir la mecánica quántica y la Gravedad.

Las matemáticas de Ramanujan son como una sinfonía, la progresión de sus ecuaciones era algo nunca vísto, él trabajaba desde otro nivel, los números se combinaban y fluían de su cabeza a velocidad de vértigo y con precisión nunca antes conseguida por nadie.   Tenía tal intuición de las cosas que éstas simplemente fluían de su cerebro.   Quizá no los veía de una manera que sea traducible y el único lenguaje eran los números.

Como saben los físicos, los “accidentes” no aparecen sin ninguna razón.  Cuando están realizando un cálculo largo y difícil, y entonces resulta de repente que miles de términos indeseados suman milagrosamente cero, los físicos saben que esto no sucede sin una razón más profunda subyacente.  Hoy, los físicos conocen que estos “accidentes” son una indicación de que hay una simetría en juego.  Para las cuerdas, la simetría se denomina simetría conforme, la simetría de estirar y deformar la hoja del Universo de la cuerda.

Aquí es precisamente donde entra el trabajo de Ramanujan.  Para proteger la simetría conforme original contra su destrucción por la teoría cuántica, deben ser milagrosamente satisfechas cierto número de identidades matemáticas que, son precisamente las identidades de la función modular de Ramanujan.  ¡Increíble!   Pero, cierto.

En resumen, he dicho que las leyes de la naturaleza se simplifican cuando se expresan en dimensiones más altas.   Sin embargo, a la luz de la teoría cuántica, debemos corregir algo Este sentido básico de mirar la cuestión.   El enunciado correcto sería ahora:   las leyes de la naturaleza se simplifican cuando se expresan  COHERENTEMENTE en dimensiones más altas.  El añadido de la palabra coherente es crucial.   Esta ligadura nos obliga a utilizar las funciones modulares de Ramanujan, que fijan en diez la dimensión del espacio – tiempo.   Esto, a su vez, puede darnos la clave decisiva para explicar el origen del Universo.

Einstein se preguntaba a menudo si Dios tuvo alguna elección al crear el universo.   Según los teóricos de supercuerdas, una vez que exigimos una unificación de la teoría cuántica y la relatividad general, Dios no tenía elección.  La autoconsistencia por sí sola, afirman ellos, debe haber obligado a Dios a crear el universo como lo hizo.

Aunque el perfeccionamiento matemático introducido por la teoría de cuerdas ha alcanzado alturas de vértigo y ha sorprendido a los matemáticos, los críticos de la teoría aún la señalan como su punto más débil.  Cualquier teoría, afirman, debe ser verificable.   Puesto que ninguna teoría definida a la energía de Planck de 1019 miles de millones de eV es verificable, ¡La teoría de supercuerdas no es realmente una teoría!

El principal problema, es teórico más que experimental.  Si fuéramos suficientemente inteligentes, podríamos resolver exactamente la teoría y encontrar la verdadera solución no perturbativa de la teoría.  Sin embargo, esto no nos excusa de encontrar algún medio por el que verificar experimentalmente la teoría, debemos esperar señales de la décima dimensión.

¿La décima dimensión?

¡Qué extraño sería que la teoría final se descubriera durante nuestra vida! El descubrimiento de las leyes finales de la Naturaleza marcará una discontinuidad en la Historia del intelecto humano, la más abrupta que haya ocurrido desde el comienzo de la ciencia moderna en el siglo XVII. ¿Podemos imaginar ahora como sería?

Steven Weinberg

emilio silvera


El apunte sobre Ramanujan fue incluido en otro de mis trabajos.  Sin embargo, el presente cuaderno trata temas expresamente solicitados para utilizar en unos seminarios de física, y se me pidió incluir el tema “Ramanujan”. La Fuente es diversa yn precisaría una larga relación.


  1. Ramanujan, el enigmático genio de las matemáticas | CyberHades, el 4 de mayo del 2010 a las 4:13

    [...] Y la segunda es la relación de la Función Ramanujan y la Teoría de Cuerdas, bastantes años antes de que ni siquiera se pensara en ella.  Aparece contínuamente en la teoría de funciones modulares. [...]

 

  1. 1
    Ramon Marquès
    el 17 de abril del 2009 a las 17:39

    Hola Emilio:
    A mi me suena extraño hablar de una teoría final. Puede que se llegue a una unificación de la teoríia cuántica con la Relatividad, con las oportunas rectificaciones seguro que esto llegará, ¿pero una teoría final?. Yo creo que cada final será un principio de nuevos campos desconocidos y un nuevo comenzar. Yo entiendo a la Física así y no entiendo que pueda ser de otra forma.
    Un abrazo. Ramon Marquès

    Responder
  2. 2
    emilio.silvera
    el 17 de abril del 2009 a las 18:39

    Amigo Ramón, me alegra tenerte por aquí, y, desde luego, lo de teoría final a mí tampoco me suena bien, y, seguramente será una teoría que empiece, como bien dices) algún camino nuevo de algo que ahora no podemos ver pero, que nestar, está.

    Esperemos que llegue pronto y lo podamos ver.

    Un abrazo

    Responder
  3. 3
    lucia
    el 20 de mayo del 2009 a las 5:16

    soy visitante en el mundo de las matemáticas,más bien mi lugar está cerca de las ciencias de la mente, pero necesito hacer una pregunta y es muy importante: en referencia a estas teorias, como la de cuerdas, o la mencionada de este señor excepcional Ramanujan, hay, dentro de todo el campo conocido de las matemáticas alguna posibilidad de que exista un icosaedro a base de hexágonos exclusivamente ( no con pentágonos) ya sea en una 5ta dimension o superior? matemática o geométricamente hablando?me pueden ayudar? ah, y si pueden, tengan en cuenta mi formacion básica en estas cosas… gracias

    Responder
  4. 4
    Ramon Marquès
    el 28 de abril del 2010 a las 19:25

    Estimado amigo Emilio, sí que es interesante el caso de Ramanujan. Yo creo que todo tiene que empezar con un cerebro especial, unas interconexiones que actúen de computadora para los números, pero en su caso la situación no dede terminar aquí, se debe recurrir al fenómeno intuición ligado a esta inteligencia para los números. Una intuición que Ramanujan expresaba como la inspiración de Namakkal.
    Amigo Emilio, un abrazo. Ramon Marquès

    Responder
    • 5.1
      emilio silvera
      el 14 de diciembre del 2011 a las 12:54

      Hola, amigo Tom:
      Leo atentamente el artículo que me envías y, perfecciona un poco más lo que ya teníamos, es un paso más adelante en la búsqueda de respuestas que, de momento, nadie nos puede dar. El sistema sigue siendo el mismo que originalmente emplearon Kaluza-Klein cuando perfeccionaron la teoría en 5 dimensiones.
      Después de aquellos primeros momentos llegaron todas las teorías de Supergravedad, Supersimetría, La Cuerda Heterótica, las Supercuerdas y la Teoría M de Vitten, y, ahora, estos físicos japoneses dan un paso más que, poco a poco, nos llevarán a saber. Sin embargo, el problema que persiste sigue siendo el Límite de la Energía de Planck del que no podemos disponer.
      Seguimos avanzando.
      Un cordial saludo amigo.
       

      Responder
  5. 6
    Ramon Marquès
    el 15 de diciembre del 2011 a las 21:01

    Estimado Emilio: 
    Maravilloso el funcionamiento vibratorio de la teoría de cuerdas y las funciones modulares de Ramanujan. Y Ahora precisamente parece que en el CERN ya han visto la Partícula d Higgs. Hago votos por el efecto frenado, ¡para que pronto puedan ver el efecto frenado!
    Amigo Emilio, un fuerte abrazo. Ramon Marquès 

    Responder
    • 6.1
      emilio silvera
      el 16 de diciembre del 2011 a las 6:24

      Hola, amigo Ramón:
      Sí, la funciones modulares de Ramanujan nos darán, todavía, alguna sorpresa.
      En cuanto al Bosón de Higgs, según “radio macuto” ya se encontró hace algunas fechas y, no queriendo meter la patitia como aquellos Italianos de los neutrinos veloces (más que la luz), están haciendo una y miles de comprobaciones en distintos lugares del mundo para asegurar su existencia y presencia en los resultados de las colisiones que se han producido en el LHC.
      Creo que en los primeros meses de este año 2.012 que se nos viene encima, tendremos la confirmación definitiva de la existencia del Bosón de Higgs y, sobre él, se escribirán ríos de tinta y se darán toda clase de explicaciones (veremos si aparece de alguna manera, tu efecto frenado).
      Hace días (antes de que lo dijeran las noticias), ya lo dije yo aquí y propuse la fecha del primer trimestre de 2012 para el anuncio de dicho encuentro que, supondrá un gran paso para la Física y dará una gran consistencia al Modelo Estándar de partículas elementales que ahora, tlo tiene metido (al Bosón de Higgs) con calzador, a la fuerza con otros cerca de 20 parámetros aleatorios para que todo cuadre y, el encuentro de uno de esos parámetros para hacerlo real y tangible, nos habla de que vamos en una buena direccción.
      De todas las maneras, los sofisticados aparatos del LHC, no sólo están buscando el Higgs, ellos, los científicos del proyecto, esperan algunas cosas más que, de seguro, serán todavía más sorprendentes que el Bosón.
      Un abrazo querido amigo.

      Responder
  6. 7
    Gabriel caro
    el 25 de septiembre del 2016 a las 14:58

    Saludos  ..bueno .si creo que hay una sola realidad y se llegara en algun momento a conocerla .. existe esta realidad final .ya esta acotado matematicamente el universo .en N realidades sin importan la cantidad que existan ..todo responde a una sola entidad matematica  .que es transversal a todos ellos  

    Responder
    • 7.1
      emilio silvera
      el 26 de septiembre del 2016 a las 4:38

      Amigo mío, seguramente lleves razón y, algún día lejano del futuro, nos enteremos de qué realidad estamos hablando.
      Un cordial saludo.

      Responder

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