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Desde el Tensor de Riemann a la Topología

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en Física Cuántica    ~    Comentarios Comments (17)

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Riemann creó el tensor métrico para que, a partir de ese momento, otros dispusieran de una poderosa herramienta que les hacía posible expresar a partir del famoso teorema de Pitágoras (uno de los grandes descubrimientos de los griegos en matemáticas que establece la relación entre las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo: afirma que la suma de los cuadrados de los lados menores es igual al cuadrado del lado mayor, la hipotenusa; es decir, si a y b son los longitudes de los dos catetos, y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2+b2=c2.  El teorema de Pitágoras, por supuesto, es la base de toda la arquitectura; toda estructura construida en este planeta está basada en él.  Claro que, es una herramienta para utilizar en un mundo tridimensional.

El tensor métrico de Riemann, o N dimensiones, fue mucho más allá y podemos decir que es el teorema para dimensiones más altas con el que podemos describir fenómenos espaciales que no son planos, tales como un remolino causado en el agua o en la atmósfera, como por ejemplo también la curvatura del espacio en presencia de grandes masas.  Precisamente, el tensor de Riemann, permitió a Einstein formular su teoría de la gravedad y, posteriormente lo utilizo Kaluza y Klein para su teoría en la quinta dimensión de la que años más tarde se derivaron las teorías de supergravedad, supersimetría y, finalmente las supercuerdas.

formas-de-universos

Para asombro de Einstein, cuando tuvo ante sus ojos la conferencia de Riemann de 1.854, que le había enviado su amigo Marcel Grossman, rápidamente se dio cuenta de que allí estaba la clave para resolver su problema.  Descubrió que podía incorporar todo el cuerpo del trabajo de Riemann en la reformulación de su principio.  Casi línea por línea, el gran trabajo de Riemann encontraba su verdadero lugar en el principio de Einstein de a relatividad general.  Esta fue la obra más soberbia de Einstein, incluso más que su celebrada ecuación E=mc2.  La reinterpretación física de la famosa conferencia de Riemann se denomina ahora relatividad general, y las ecuaciones de campo de Einstein se sitúan entre las ideas más profundas de la historia de la ciencia.

Pero volvamos al trabajo de Riemann.  Su propósito era introducir un nuevo objeto en las matemáticas que le capacitase para describir todas las superficies, por complicadas que fueran.  Esto le condujo inevitablemente a reintroducir el concepto de campo de Faraday.

El campo de Faraday, recordémoslo, era como un campo de granjero que ocupa una región de un espacio bidimensional.  El campo de Faraday ocupa una región de un espacio tridimensional; a cualquier punto del espacio le asignamos una colección de números que describe la fuerza eléctrica o magnética en dicho punto.  La idea de Riemann consistía en introducir una colección de números en cada punto del espacio que descubriera cuánto estaba torcido o curvado.

Por ejemplo, para una superficie bidimensional ordinaria, Riemann introdujo una colección de tres números en cada punto que describe completamente la curvatura de dicha superficie.  Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales se necesita una colección de diez números en cada punto del espacio para describir sus propiedades.  Por muy retorcido o distorsionado que esté el espacio, esta colección de diez números en cada punto es suficiente para codificar toda la información sobre dicho espacio.  Hoy, esta colección de números se denomina el Tensor métrico de Riemann.  Hablando crudamente, cuanto mayor es el valor del tensor métrico, mayor es el arrugamiento de la superficie, digamos de una hoja de papel, y, el tensor métrico nos da un medio sencillo para medir la curvatura en cada punto.  Si alisamos completamente la hoja arrugada, entonces recuperamos la fórmula de Pitágoras.

El tensor métrico de Riemann le permitió erigir un potente aparato para describir espacios de cualquier dimensión con curvatura arbitraría.  Para su sorpresa, encontró que todos estos espacios están bien definidos y son autoconsistentes.  Previamente, se pensaba que aparecerían terribles contradicciones al investigar el mundo prohibido de dimensiones más altas.  Riemann no encontró ninguna.  De hecho, resultaba casi trivial extender su trabajo a un espacio N-dimensional.  El tensor métrico se parecía ahora a un tablero de Ajedrez de N x N casillas.

matriz

El tensor de Riemann contiene toda la información necesaria para poder describir un espacio curvo en N-dimensiones.  Se necesita dieciséis números para describir el tensor métrico en un espacio tetradimensional.  Estos números pueden disponerse en una matriz cuadrada (seis de dichos números son realmente redundantes; de modo que el tensor métrico tiene diez números independientes).

De hecho, en las nuevas teorías de supercuerdas, planteadas en diez y veintiséis dimensiones, tendríamos que hablar del supertensor métrico de Riemann y de cientos de componentes.

corte-riemann

Un corte de Riemann, con dos hojas conectadas a lo largo de una línea.  Si caminamos alrededor del corte, permanecemos dentro del mismo espacio.  Pero si atravesamos el corte, pasamos de una hoja a la continua.  Esta es una superficie múltiplemente conexa.

De la lección de Riemann se deduce que, en espacios multidimensionales se crea el principio de que el espacio múltiple (de más dimensiones) unifica las leyes de la naturaleza encajándolas en el tensor métrico como piezas de un rompecabezas N-dimensional.

Riemann anticipó otro desarrollo de la física; fue uno de los primeros en discutir espacios múltiples y conexos, o agujeros de gusano.

agujero-de-gusano

Topológicamente hablando, el dibujo anterior es equivalente a lo que sería un agujero de Gusano con boca de entrada y de salida en regiones que nos llevarían a otro tiempo (Así lo aseguró en 1.988, el físico Kip Thorne, del MIT (Instituto Tecnológico de Massaschusse en California).

El legado de Riemann (a pesar de su muerte prematura) fue extenso y en general muy valioso.  En 1958, anunció incluso que finalmente había logrado una descripción unificada de la luz y la electricidad.  Escribió: “Estoy completamente convencido de que mi teoría es la correcta, y de que en pocos años será reconocida como tal”.  Aunque su tensor métrico le proporcionó un medio poderoso de describir cualquier espacio curvo en cualquier dimensión, él no conocía las ecuaciones exactas a que obedecía el tensor métrico; es decir, no sabía que es lo que hacía que la hoja se arrugase, eso lo vió seis décadas más tarde Einstein que se dio cuenta de que, en presencia de grandes masas, tales como planetas o estrellas –entre otros, el espacio se “arruga” o “distorsiona”, se curva.  Sin embargo Einstein, sabía el origen de las arrugas y le faltaba el tensor métrico que, finalmente, le permitió regalar al mundo su magnifica teoría.

El trabajo de Riemann, al utilizar el espacio multidimensional, logró simplificar las leyes de la naturaleza, es decir, pará el, la electricidad y el magnetismo y también la Gravedad eran simplemente los efectos causados por el arrugamiento o distorsión del hiperespacio.

Su asombroso trabajo (que no terminó), fue rematado por dos genios como Maxwell (electricidad y magnetismo) y Einstein (Gravedad).

El mensajero de la cuarta dimensión, un pintoresco matemático inglés llamado Charles Howard Hinton que atravesó el Atlántico y la llevó a Norteamérica.  Formó bastante ruido a cuenta de la cuarta dimensión y se presentaba como experto en ella, tenía respuesta para cualquier pregunta.

Si le preguntaban ¿Dónde está la cuarta dimensión?, su respuesta era invariable: “Está aquí, con nosotros, pero es tan pequeña que no la podemos ver”.

Básicamente, la respuesta de Hinton fue la misma que después dieron Kaluza y Klein para su quinta dimensión ( la famosa teoría que unía el electromagnetismo de Maxwell y la Gravedad de Einstein mediante la ocurrencia de elevar la teoria Einsteniana en una dimensión más ) y las que han dado otros físicos y matemáticos para explicar las teorías decadimensionales, en todas, cuando nació el tiempo y el espacio, en el Big Bang, resultó que tres dimensiones espaciales y una de tiempo se expandieron con el Universo, las otras dimensiones se quedaron compactados en minúsculos círculos en la longitud de Planck, es decir una distancia de 10-33 cm que se formula mediante Lp=√ (G ħ / c3 ),  donde G,  es la constante gravitacional de Newton, ħ es la constante de Planck racionalizada, y c es la velocidad de la luz en el vacío.  Esa es una distancia que, hoy por hoy, nuestros aparatos tecnológicos (microscópicos electrónicos, etc.), no están capacitados para alcanzar.

Hay asuntos que en física, matemáticas o astronomía, están esperando una respuesta clara,  y sobre todo urgente.

Tenemos pendientes las preguntas sobre lo que encierra el número 137, ese número puro y Adimensional que se relaciona con e, el electrón del electromagnetismo, con h, el cuanto de acción de la constante de Planck, y con c, la velocidad de la luz de la relatividad especial de Einstein.  Es lo que denominamos constante de estructura fina que es igual a 1/137 y resulta de los productos de 2лe2/hc, pero ¿Por qué? El día que tengamos la respuesta habremos despejado los misterios encerrados en e, h y c.

También esperamos respuesta a preguntas pendientes en Geometría de los objetos a la que se ha dado en llamar TOPOLOGÍA, es la rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de los objetos que no cambian al deformarlos continuamente: estirarlos, achatarlos o retorcerlos.  Siempre sin cortarlos ni pegarlos.  Los topólogos no miran la distancia, puesto que se puede cambiar al deformar el objeto, sino nociones más sutiles.

emilio silvera


 

  1. 1
    Ramon Marquès
    el 3 de julio del 2009 a las 21:16

    Hola Emilio:
    ¡Qué bien has explicado la idea de las dimensiones de Riemann así como su tensor métrico, y su obra como precursora de la Relatividad General de Einstein, o de las dimensiones que se utilizan en la teoría de cuerdas, sin olvidar al Hinton de la época victoriana!
    Un abrazo de tu amigo. Ramon Marqués

    Responder
  2. 2
    emilio silvera
    el 4 de julio del 2009 a las 16:34

    Amigo Ramón, siempre será un placer tenerte por aquí y, como bien dices, muchos le deben a Riemann que fue el precursor de los espacios curvos y, sin su tensor métrico, Einstein estaría aún, dando vueltas a su relatividad general.

    Un abrazo amigo.

    Responder
  3. 3
    fernando
    el 14 de agosto del 2009 a las 23:57

    sobresaliente! saludes!

    Responder
    • 3.1
      emilio silvera
      el 21 de junio del 2010 a las 9:32

      Gracias amigo, tu comentario justifica el esfuerzo de exponerlo aqui para que, gente como tu, lo pueda leer.
      Un saludo cordial.

      Responder
  4. 4
    adri
    el 20 de junio del 2010 a las 17:56

    gracias, buen articulo!!

    Responder
    • 4.1
      emilio silvera
      el 21 de junio del 2010 a las 9:35

      Amigo adri, te digo lo mismo que al compañero anterior. Riemann fue todo un personaje que todos debieran conocer y reconocer sus grandes contribuciones a la Geometria de los espacios curvos. ¿Donde estaria la Relatividad General de Einstein sin el Tensor metrico de Riemann? Pues, seguramente saldria a la luz muchos años despues, con lo cual, la Cosmologia llevaria un retraso considerable.
      Saludos.

      Responder
  5. 5
    Miguel F. Saavedra
    el 10 de enero del 2011 a las 7:38

    Excelente …… perdón….bellisima forma de explicarlo, simple y llana…felicidades
    Navegando por internet, tratando de ver un poco mas del  ”mundo” que me rodea, le pediría un consejo,  mi nivel de matemáticas esta muy por debajo de lo que quisiera (prácticamente de preparatoria), pero mis ratos de ocio me permiten aprender un poquitin, así que empece por un texto de álgebra lineal y uno de calculo, pero quiero encontrar quizá una dirección de Internet que me enseñe a comprender desde sus inicios este embrollo del manejo de vectores y tensores, (por el momento solo es sueño el tratar de comprender a Riemann), ademas en el rancho donde vivo, no he encontrado un texto que me sirviera de guía, si Usted sabe de algun compendio (pdf p.e.) que me sirviera de guia le estare muy Agradecido
    Miguel F. Saavedra

    Responder
    • 5.1
      emilio silvera
      el 10 de enero del 2011 a las 9:09

      Mi estimado amigo:
      Contactaré con algunos compañeros de la Real Sociedad Española de Física que, de seguro, me orientaran y, seguidamente, le comunicaré el resultado para que le sirva de guía.
      Un saludo cordial.

      Responder
  6. 6
    Hector Camacaro
    el 30 de julio del 2012 a las 18:14

    Excelente, la forma de explicar este tema es muy educativa, didáctica, muy gráfica, no requiere mucho nivel matemático para entender…
    Acabo de terminar mi carrera de Lic. en cs. Matemáticas y desearía continuar mis estudios en el área de la topologia pero no conozco topologos aqui en mi pais, me gustaria tener un ecelente tutor que pueda orientrme y encaminarme  a ser un investigador tengo mucha hambre de aprender…
    Saludos espero prontamente su respuesta . 

    Responder
    • 6.1
      emilio silvera
      el 30 de julio del 2012 a las 20:56

      Amigo Hector:
      Está claro que has elegido el camino correcto y, si continúas por ese sendero del saber, conocerás esa magia maravillosa de las matemáticas que conocieron Gauss, Riemann, Cantor, Euler y tantos otros como Ramanujan que tenía ese don especial para “ver” lo que a otros no les estaba permitido.
      Ya sabes lo que dicen: Las ciencias son un gran árbol en el que las ramas son la Biología, otra la Química, la Astronomía…etc. El tronco es la Física.
      Pero, ¿Y las matemáticas?
      Bueno, las matemáticas con las raíces sin las cuáles, la ciencia no existiría.
      Sigue ese camino emprendido y, llegarás a estar entre esos pocos privilegiados que entienden los signos que otros nunca llegaremos a comprender y que, sin embargo….¡son tan importantes! ¿Que seróa del saber del mundo sin las matemáticas?
      Un abrazo cordial

      Responder
  7. 7
    YEM
    el 5 de septiembre del 2012 a las 1:00

    Gracias por este material. Estoy buscando información sobre los tensores de curvatura, y me resulta difícil de comprender por su simbología… podrías ayudarme?

    Responder
    • 7.1
      emilio silvera
      el 5 de septiembre del 2012 a las 6:22

      ¡Hola YEM!
      La información que buscas está en librerias especializadas y, de todas las maneras, mi recomendación es que, acudas a un experto profesor en la materia. No es fácil, aunque puedas tener los libros que tratan el asunto, llegar a comprenderlos sin una ayuda experta, toda vez que, el área que tratas de dominar conlleva cierta complejidad, no ya sólo de símbolos sino también de su estructura matemática y profundidad de sus complejos caminos.
      En cualquier lugar que mires encontrarás una explicación que apoya lo que te digo:
      “En geometría diferencial, el tensor de curvatura de Riemann , o simplemente tensor de curvatura o tensor de Riemann, supone una generalización del concepto de curvatura de Gauss, definido para superficies, a variedades de dimensiones arbitrarias. Representa una medida de la separación de la métrica de la variedad respecto de la métrica euclídea.
      Fue introducido en 1862 por Riemann y desarrollado en 1869 por Christoffel como una forma de describir completamente la curvatura en cualquier número de dimensiones mediante un “pequeño monstruo”: un tensor de tipo (1,3) representado generalmente por el símbolo . El valor de cualquier otra entidad que describa la curvatura de una variedad puede deducirse de este tensor. Tal es el caso del tensor de Ricci (un tensor de tipo (0,2)), de la curvatura escalar o de la curvatura seccional.
      Aunque en 2 dimensiones la curvatura puede representarse por un escalar en cada punto (o tensor de orden cero), tal como hacía la curvatura de Gauss, la geometría de variedades de Riemann con dimensión mayor o igual que 3 es demasiado compleja como para describirla totalmente por un número en un punto dado. Así, en 3 dimensiones la curvatura puede representarse por un tensor de segundo orden (el tensor de Ricci). Sin embargo, para dimensiones superiores necesitaremos al menos un tensor de cuarto orden (el tensor de Riemann).
      El tensor de curvatura tiene una influencia notable en la evolución de la separación de un conjunto de geodésicas inicialmente próximas, vía la ecuación de Jacobi. Da lugar a efectos observables de la curvatura en las fuerzas de marea que aparecen en relatividad general.”
      Busca (si en verdad tienes que ponerte al día con la geometría de los espacios curvos), un profesor especializado en el tema, es, el único camino.
      Saludos.

      Responder
  8. 8
    juanmrosell
    el 16 de julio del 2013 a las 17:47

    VEAN EL BLOG sangretroyana blogspot.com o por google  LAS FALACIAS DE KURT GODEL Y COMPRENDERAN PORQUE ESTA ERRADO EL CELEBRE TEOREMA DE INCOMPLETITUD.UN SALUDO JUAN

    Responder
  9. 9
    emilio silvera
    el 17 de julio del 2013 a las 5:25

    Saludos amigo.

    Responder
  10. 10
    juanmrosell
    el 20 de agosto del 2013 a las 17:02

    ACABO DE MIRAR PAGINAS DONDE HABIA MANDADO CORREOS Y HE VISTO EL APOYO QUE USTED LE HA PRESTADO ASI COMO EL AYUNTAMIENTO DE BARCELONA,LE ENVIO UN SALUDO PROMETIENDO QUE SERA MAS CLARO LA PROXIMA TERCERA PARTE,MUCHAS GRACIAS

    Responder

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