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Las Unidades Naturales de Planck

Autor por Emilio Silvera    ~    Archivo Clasificado en Naturaleza misteriosa    ~    Comentarios Comments (7)

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Si nos referimos a la unidades de Planck, lo justo es que, al menos, nombremos a Stoney que fue antes que Planck y éste, para plasmar sus unidades se inspiró en las de aquel. La idea de Stoney fue descubierta en una forma diferente por el físico alemán Max Planck en 1.899, un año antes de que expusiera al mundo su teoría del “cuanto de acción” h.

http://www.aprender-mat.info/history/photos/Planck.jpeg

El joven Planck

Planck es uno de los físicos más importantes de todos los tiempos. Como antes he apuntado, descubrió la naturaleza cuántica de la energía que puso en marcha la revolución cuántica de nuestra comprensión del mundo, ofreció la primera descripción correcta de la radiación térmica (“espectro de Planck”) y una de las constantes fundamentales de la naturaleza lleva su nombre.

Ganador del premio Nobel de Física de 1.918, también fue, en el primer momento, el único que comprendió la importancia que, para la física y para el mundo, tendría el artículo del joven Einstein, en 1.905, sobre la teoría de la relatividad especial. Hombre tranquilo y modesto que fue profundamente admirado por sus contemporáneos más jóvenes, como el mismo Einstein y Bohr.


Max Planck y Albert Einstein

La concepción que tenía Planck de la naturaleza ponía mucho énfasis en su racionalidad intrínseca y en su independencia del pensamiento humano. Había que encontrar esas estructuras profundas que estaban lejos de las necesidades de la utilidad y conveniencia humanas pero que, en realidad, estaban ahí ocultas en lo más profundo de los secretos naturales y eran las responsables de que nuestro mundo, nuestro universo, fuese tal como lo conocemos.

En el último año de su vida un antiguo alumno le preguntó si creía que buscar la forma de unir todas las constantes de la naturaleza mediante alguna teoría más profunda era atractivo. Le contestó con el entusiasmo templado por el realismo y experiencia conociendo cuantas dificultades entrañaba tal empresa.

“Su pregunta sobre la posibilidad de unificar todas las constantes universales de la naturaleza, es sin duda una idea atractiva. Por mi parte, sin embargo, tengo dudas de que se logre con éxito. Pero puedo estar equivocado”

A diferencia de Einstein, Planck no creía que se pudiera alcanzar realmente una teoría globalizadora que explicara todas las constantes de la naturaleza.

¿Qué es la Teoría del Todo?

¿Qué es la Teoría del Todo? Es una teoría que explica en una sola a todos los fenómenos físicos. Fue usado con una connotación irónica para referirse a varias teorías, las cuales se podían unificar o explicar a través de un modelo de teorías las interacciones de la naturaleza.

Los físicos han tenido la obsesión de integrar todo en una única teoría, desde los griegos hasta ahora, han querido construir una nueva teoría en la que se incluyan todas las anteriores, y además al hacerlo lograr explicar nuevos fenómenos.

Mientras que Stoney había visto en la elección de unidades prácticas una manera de cortar el nudo gordiano de la subjetividad, Planck utilizaba sus unidades especiales para sustentar una base no antropomórfica para la física y que, por consiguiente, podría describirse como “unidades naturales”.

De acuerdo con su perspectiva universal, en 1.899 Planck propuso que se construyeran unidades naturales de masa, longitud y tiempo a partir de las constantes más fundamentales de la naturaleza: la constante de gravitación G, la velocidad de la luz c y la constante de acción h, que ahora lleva el nombre de Planck. La constante de Planck determina la mínima unidad de cambio posible en que pueda alterarse la energía, y que llamó “cuanto”. Las unidades de Planck son las únicas combinaciones de dichas constantes que pueden formarse en dimensiones de masa, longitud, tiempo y temperatura. Sus valores no difieren mucho de los de Stoney que figuran en el trabajo siguiente de hoy:

Mp = (hc/G)½ = 5’56 × 10-5 gramos
Lp = (Gh/c3) ½ = 4’13 × 10-33 centímetros
Tp = (Gh/c5) ½ = 1’38 × 10-43 segundos
Temp.p = K-1 (hc5/G) ½ = 3’5 × 1032 ºKelvin

Estas formulaciones con la masa, la longitud, el tiempo y la temperatura de Planck incorporan la G (constante de gravitación), la h (la constante de Planck) y la c, la velocidad de la luz. La de la temperatura incorpora además, la K de los grados Kelvin.

La constante de Planck racionalizada (la más utilizada por los físicos), se representa por ћ que es igual a h/2π que vale del orden de 1’054589×10-34 Julios segundo.

En las unidades de Planck, una vez más, vemos un contraste entre la pequeña, pero no escandalosamente reducida unidad natural de la masa y las unidades naturales fantásticamente extremas del tiempo, longitud y temperatura. Estas cantidades tenían una significación sobrehumana para Planck. Entraban en La Base de la realidad física:

“Estas cantidades conservarán su significado natural mientras la Ley de Gravitación y la de Propagación de la luz en el vacío y los dos principios de la termodinámica sigan siendo válidos; por lo tanto, siempre deben encontrarse iguales cuando sean medidas por las inteligencias más diversas con los métodos más diversos.”

Ilustración de seres de otros mundos

¿Quién sabe cómo serán?

En sus palabras finales alude a la idea de observadores en otro lugar del universo que definen y entienden estas cantidades de la misma manera que nosotros. Lo cierto es que, estas unidades, al tener su origen en la Naturaleza y no ser invenciones de los seres humanos, de la misma manera que nosotros y, posiblemente por distintos caminos, seres de otros mundos también las hallarán y serán idénticas a las nuestras.

De entrada había algo muy sorprendente en las unidades de Planck, como lo había también en las de Stoney. Entrelazaban la gravedad con las constantes que gobiernan la electricidad y el magnetismo. Planck nos decía:

“La creciente distancia entre la imagen del mundo físico y el mundo de los sentidos no significa otra cosa que una aproximación progresiva al mundo real.”

Sí, Planck tenía razón, el mundo de los sentidos cada vez están más cerca de ese mundo real que perseguimos. Sabemos que nuestra realidad no es la realidad del mundo y, poco a poco, con descubrimientos como esos de las Unidades de Stoney-Planck, nos vamos acercando a la comprensión de esa Naturaleza creadora que permitió aquí nuestra presencia y que ahora, nosotros tratamos de saber para qué.

Podemos ver que Max Planck apelaba a la existencia de constantes universales de la naturaleza como prueba de una realidad física al margen y completamente diferentes de las mentes humanas. Al respecto decía:

“Estos…números, las denominadas constantes universales son en cierto sentido los ladrillos inmutables del edificio de la física teórica. Deberíamos preguntar:

¿Cuál es el significado real de estas constantes?”

Claro que, nosotros, simplemente somos un misterio más de los muchos que en el Universo son. Sin embargo y a diferencias de los otros, tenemos la ventaja de ser conscientes con la facultad de pensar y, además, tenemos una insaciable curiosidad.

Una de las paradojas de nuestro estudio del universo circundante es que a medida que las descripciones de su funcionamiento se hacen más precisas y acertadas, también se alejan cada vez más de toda la experiencia humana. Es a lo que antes me refería cuando decía que nuestra realidad no coincide con la del mundo real. La nuestra, está conformada por nuestras mentes a través de los sentidos y de las experiencias que están fuardadas en nuestros archivos mentales.

“Lo que realmente me interesa es si Dios podría haber hecho del mundo una cosa diferente; es decir, si la necesidad de simplicidad lógica deja la más mínima libertad.”

Albert Einstein

La observación de esta curiosa conjunción le ha valido al quásar QSO 2237+0305 el nombre de ‘Cruz de Einstein’, debido a que es una confirmación sólida de la teoría publicada por el célebre científico hace más de 1 siglo. La distancia de este objeto es de 8.000 millones de años-luz, la cual es extremadamente grande; y la de la galaxia lente es de 800 millones de años-luz. Comúnmente estos quásars poseen distancias muy grandes por lo que son muy tenues para los telescopios, pero en el caso de la Cruz de Einstein, ha sido magnificada de modo que es visible por los telescopios.

Einstein hizo más que cualquier otro científico por crear la imagen moderna de las leyes de la naturaleza. Desempeñó un papel principal en la creación de la perspectiva correcta sobre el carácter atómico y cuántico del mundo material a pequeña escala, demostró que la velocidad de la luz introducía una relatividad en la visión del espacio de cada observador, y encontró por sí solo la teoría de la gravedad que sustituyó la imagen clásica creada por Isaac Newton más de dos siglos antes que él. Su famosa fórmula de E = mc2 es una fórmula milagrosa, es lo que los físicos definen como la auténtica belleza. Decir mucho con pocos signos y, desde luego, nunca ningún físico dijo tanto con tan poco. En esa reducida expresión de E = mc2, está contenido uno de los mensajes de mayor calado del universo: masa y energía, son la misma cosa.

Einstein siempre estuvo fascinado por el hecho de que algunas cosas deben parecer siempre iguales, independientemente de cómo se mueva el que las ve, como la luz en el vacío, c. Él nos dijo el límite con que podríamos recibir información en el universo, la velocidad de c.

Él reveló todo el alcance de lo que Stoney y Planck simplemente habían supuesto: que la velocidad de la luz era una constante sobrehumana fundamental de la naturaleza. También sabía el maestro que, en el proceso de nuevas teorías, la búsqueda de la teoría final que incluyera a otras fuerzas de la naturaleza distintas de la gravedad, daría lugar a teorías nuevas y cada vez mejores que irían sustituyendo a las antiguas teorías. De hecho, él mismo la buscó durante los 30 últimos años de su vida pero, desgraciadamente, sin éxito. Ahora se ha llegado a la teoría de supercuerdas que sólo funciona en 10 y 26 dimensiones y es la teoría más prometedora para ser la candidata a esa teoría final de la que hablan los físicos.

Sí, se vislumbra, a lo lejos, una esplendorada luz que, sin embargo, tiene en todo su centro un signo de interrogación que viene a significar lo que no sabemos. Es mucho lo que nos queda por descubrir y, hombres que, como Stoney, Planck y Einstein nos han dejado un camino que seguir, sin embargo, no estamos situados aún en esa zona luminosa del saber sino que…

podríamos decir que, estándo a media luz, tenemos el margen suficiente y necesario para seguir los pasos de aquellos que, antes que nosotros, dejaron coladas antorchas que alumbran (a medias) ese camino que nos queda por recorrer. Ahora, es cosa nuestra seguir encendiendo las lámparas del saber.

El físico espera que las constantes de la naturaleza respondan en términos de números puros que pueda ser calculado con tanta precisión como uno quiera. En ese sentido se lo expresó Einstein a su amiga Ilse Rosenthal-Schneider, interesada en la ciencia y muy amiga de Planck y Einstein en la juventud.

Lo que Einstein explicó a su amiga por cartas es que existen algunas constantes aparentes que son debidas a nuestro hábito de medir las cosas en unidades particulares. La constante de Boltzmann es de este tipo. Es sólo un factor de conversión entre unidades de energía y temperatura, parecido a los factores de conversión entre las escalas de temperatura Fahrenheit y centígrada. Las verdaderas constantes tienen que ser números puros y no cantidades con “dimensiones”, como una velocidad, una masa o una longitud. Las cantidades con dimensiones siempre cambian sus valores numéricos si cambiamos las unidades en las que se expresan.

Sabemos que acercarse a la velocidad de la luz, requiere inmensas energías. La interpretación de las unidades naturales de Stoney y Planck no era en absoluto obvia para los físicos. Aparte de ocasionarles algunos quebraderos de cabeza al tener que pensar en tan reducidas unidades, y sólo a finales de la década de 1.960 el estudio renovado de la cosmología llevó a una plena comprensión de estos patrones extraños. Uno de los curiosos problemas de la Física es que tiene dos teorías hermosamente efectivas (la mecánica cuántica y la relatividad general) pero gobiernan diferentes dominios de la naturaleza.

La mecánica cuántica domina en el micromundo de los átomos y de las partículas “elementales”. Nos enseña que en la naturaleza cualquier masa, por sólida o puntual que pueda parecer, tiene un aspecto ondulatorio. Esta onda no es como una onda de agua. Se parece más a una ola delictiva o una ola de histeria: es una onda de información. Nos indica la probabilidad de detectar una partícula. La longitud de onda de una partícula, la longitud cuántica, se hace menor cuanto mayor es la masa de esa partícula.

La Relatividad General nos habló de que, la imagen de arriba era posible

Por el contrario, la relatividad general era siempre necesaria cuando se trataba con situaciones donde algo viaja a la velocidad de la luz, o está muy cerca o donde la gravedad es muy intensa. Se utiliza para describir la expansión del universo o el comportamiento en situaciones extremas, como la formación de agujeros negros. Sin embargo, la gravedad es muy débil comparada con las fuerzas que unen átomos y moléculas y demasiado débil para tener cualquier efecto sobre la estructura del átomo o de partículas subatómicas, se trata con masas tan insignificantes que la incidencia gravitatoria es despreciable. Todo lo contrario que ocurre en presencia de masas considerables como planetas, estrellas y galaxias, donde la presencia de la gravitación curva el espacio y distorsiona el tiempo.

Como resultado de estas propiedades antagónicas, la teoría cuántica y la teoría relativista gobiernan reinos diferentes, muy dispares, en el universo de lo muy pequeño o en el universo de lo muy grande. Nadie ha encontrado la manera de unir, sin fisuras, estas dos teorías en una sola y nueva de Gravedad-Cuántica.

¿Cuáles son los límites de la teoría cuántica y de la teoría de la relatividad general de Einstein? Afortunadamente, hay una respuesta simple y las unidades de Planck nos dicen cuales son.

emilio silvera

 

  1. 1
    Fandila
    el 10 de octubre del 2011 a las 10:40

    ¿Aparte h, las constantes de Planck o constantes deducidas, tienen un significado real?
    ¿Se pueden considerar como cuantos?
    Así,  ¿la Mp constituye el cuanto de masa, es decir las masas de todas las partículas son multiplos de la Mp?
    La Lp, la Tp, la Temp.p, ¿qué significan con relación al cuanto experimental de energía h? ¿Son tan reales  como h en la naturaleza?
    Si G puede significar una superficie mínima o la fuerza gravitoria mínima, y h puede significar una masa, una longitud o una velocidad (solo hay que desarrollar las ecuaciones de dimensiones para valores unitarios, o del sistema natural), se llega a la conclusión de que, realmente, sólo queda descrito un cuanto, el h.
    Saludos

    Responder
  2. 2
    Tom Wood
    el 10 de octubre del 2011 a las 12:39

    En muchas ocasiones, cuando hablo de las magnitudes Planck con las personas, me gusta ponerlas así: 5,56g/100 000   4,13cm/1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (igual las demás) y así surgen inimaginables conjeturas. Como dice usted, solo se ajusta un  poquito a la racionalidad cotidiana de nuestra cabeza, el poder coger un poco mas de un gramo y dividirlo en 20 000 partes; si esto podemos llamarlo cordura. Muchas personas no pueden creer que los físicos midamos cosas tan pequeñas, hasta que no las ven como ciencia aplicada. Es decir, estamos metidos en tremendas “peleas” con la naturaleza, para arrancarle sus leyes. Es por esto, que cuando se discute de ciencia nadie tiene la última palabra; porque mas tarde o mas temprano, como demuestra la historia, todo puede reformularse, reinterpretarse o mejor como digo yo enriquecerse. Aun así; con lo sorprendente que es la naturaleza, hay quien todavía toma partido en discusiones científicas. Sobre la quántica y la relatividad, yo hace tiempo que había desistido, de que una particularizara a la otra y ya también desistí de los esfuerzos de que se fundan. Pienso que si esto fuera posible, ya hubiera pasado de forma natural, casi sin esfuerzo de los físicos. Los mejores intentos actuales; si lo logran, no se ve que muchas personas lo entenderán o que tendrán alguna utilidad. Creo que mejor es buscar una nueva forma mitológica de explicar la fenomenológica física y a partir de ahí todo volverá a simplificarse de nuevo. Al final la relatividad y la cuántica quedaran englobadas con personalidad propia. Otra pregunta que me hago últimamente es: ¿Si hubiéramos nacido en un mundo relativista (moviéndonos a esas velocidades…) o cuántico (tan chiquititos y extraños…), habríamos tenido que construir la mecánica de Galileo-Newton y el electromagnetismo de Maxwell, como teorías mas generales o que englobaría a la relatividad y la quántica? ¿Como se vería la física en que vivimos, sus constantes, desde esa perspectiva? Es decir, sospecho que eso de que una teoría particulariza a otra, o que una son mejores que las otras; no es mas que la consecuencia de seguir determinada ruta histórico-investigativa. La naturaleza es única, y cuando usamos una determinada ruta simbólica, para que medie entre ella y nosotros, obtenemos teorías que se ven con jerarquías sobre las otras, pero esto no es mas que una perspectiva marco-simboliza, del sistema en que estamos y no la realidad misma. Bueno no le haga mucho caso a esto ultimo, son conjeturas mías.

    Responder
  3. 3
    Tom Wood
    el 10 de octubre del 2011 a las 12:44

    Errata:Creo que lo mejor es buscar una nueva metodología, para explicar la fenomenológica física y a partir de ahí todo volverá a simplificarse de nuevo.

    Responder
  4. 4
    emilio silvera
    el 11 de octubre del 2011 a las 5:23

    Leyendo los pensamientos que expresa el amigo Fandila, no tengo por más que estar con él de acuerdo, toda vez que, esas unidades están bien y pueden que rellenen un espacio matemático para realizar algunos ejercicios de física pero, si dejamos a un lado la constante de Planck, h, es dudosa la semejanza práctica de las otras en relación con la Naturaleza que pretenden expresar. Bueno, quizá pueda ser también que, por mi parte me falta entendimiento para ver la certeza que subyace en cada una de esas unidades.
    Tom, en su elucubrar por los enrevesados caminos de la física, nos lleva a esos “universos” hasta el momento incompatubles de la mecánica cuántica y la relatividad general sobre los que, los más reputados científicos han puesto su empeño en unificar sin éxito. El procedimiento de renormalización no funciona para la gravedad cuántica, aunque hay algunas evidencias de que la teoría de supercuerdas es una teoría cuántica de la gravedad libre de infinitos. Una aproximación a la gravedad cuántica viene formulada por la teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo, en la que las interacciones gravitatorias son tratadas clásicamente, mientras que todas las demás interacciones son tratadas por la mecánica cuántica.
    Claro que, se habla tanto de esta teoría inexistente debido a que, tenemos que considerar, o, es necesario considerar la gravedad cuántica en el universo primitivo, justo después del big bang, y en las singularidades asociadas con los agujeros negros.
    En este punto, tengo que volver sobre mis pasos para recordar de nuevio la Mp que está referida a la masa de una partícula cuya longitud de onda Compton es igual a la Longitud de Planck y cuya fórmula todos conocemos. La descripción de una partícula elemental de esta masa, o partículas que interaccionan con energías por partícula equivalentes a ella (a través de E = mc2), requiere una teoría cuántica de la gravedad.
    Como la masa de Planck es del orden de 10-8 Kg (equivalente a una energía de 1019 GeV) y, por ejemplo, la masa del protón es del orden de 10-27 kg y las mayores energías alcanzables en los aceleradores de partículas actuales ni se acercan a esos parámetros, los efectos de la gravitación cuántica no aparecen en los laboratorios de física de partículas. Sin embargo, en el universo primitivo (al menos así parece) las partículas tenían energías del orden de la masa de Planck, de acuerdo con la teoría del big bang, y es, por tanto, necesaria una teoría cuántica de la gravedad para poder estudiar ciertas condiciones.
    Así, podemos llegar a la conclusión de que las unidades de Planck conforman un sistema utilizado principalmente en teorías cuánticas de la gravedad, en que longitud, masa y tiempo son expresados en múltiplos de la longitud, masa y tiempo de Planck, respectivamente. Esto es equivalente a fijar la constante gravitacional, la velocidad de la luz y la constante de Planck racionalizada iguales todas a la unidad.
    Todas las cantidades que tienen dimensiones de longitud, masa y tiempo se vuelven adimensionales en unidades de Planck. Debido a que, en el contexto donde las unidades de Planck son usadas, es normal emplear unidades gaussianas o unidades de Heaviside-Lorentz para las cantidades electromahnéticas, éstas también se vuelven adimensionales.
    De todas las maneras, debemos concluir admitiendo que (como nos dice Tom) que, cuando nos sumergimos en este extraño mundo de la cuántica, nada de lo que nos dicta el sentido común está allí presente, parece como si llegáramos a un universo de fantásticos fenómenos naturales que nada tienen que ver con nuestras vidas cotidianas en las que, prevalece el macro-universo que, funciona de manera muy diferente a ese otro de lo infinitesimal.

    Responder
    • 4.1
      Riesling
      el 11 de octubre del 2011 a las 7:29

      Recordar cierta cita de Feynman sobre la cuántica.

      En estos días he estado pensando también en expresar a las constantes como cantidades adimensionales. Así como surge la constante de estructura fina, sin dimensiones. También había tenido la idea de Tom Wood de que una particularizara a la otra. Lo mantengo posible. Todavía me confunde un poco la hipótesis de De Broglie que menciona, en general son muchas cosas de cuántica que rodean mi cabeza. Las veo y no las veo. Es desde cierto punto de vista divertido como en la juventud, pero desde otro punto de vista parece un oscuro reino, lejos del amigable reino de la mecánica clásica. Ahora me espera la ecuación de Schrodinger dependiente o no del tiempo. Y muchas cosas mas en el oscuro y conocido reino de la cuántica, aquel que nos intriga y por el que sacrificamos el “sentido común”.

      Alguna vez leí un cuento en el que un señor llega a un reino en donde c=15km/hr y todos esos efectos relativistas son el pan de cada día para sus habitantes!!! Luego consigo el nombre.

      Como siempre un saludo Sr. Silvera 
      ♪ 

      Responder
      • 4.1.1
        emilio silvera
        el 12 de octubre del 2011 a las 8:17

        Estimado amigo Riesling:
        Te pasa como a todos, el ámbito cuántico es extraño y sólo la comprobación una y mil veces de su certeza nos hace admitirlo como ese mundo real que está lejos de nosotros pero que, al mismo tiempo convive con nosotros aunque directamente no lo podamos constatar. Es más familiar y cotidiano ese otro mundo clásico que, tiene más en común con nosotros.
        Sin embargo, no podemos cerrar los ojos ante lo evidente, los átomos existen, las partículas que los conforman están ahí, sus mecanismos y actividades no pocas veces “exóticas” nos resultan lejanas y, a veces, incomprensibles.
        Si te entretienes en leer a Fandila, a Tom Wood, otras veces a Kike, y, a tí mismo (tampoco yo me escapo), verás que todos, sin excepción, tenemos esas dudas que expones y que son la consecuencia de la complejidad que conlleva la mecánica cuántica y los extraños fenómenos que allí podemos observar y que son, muy alejados de nuestras vidas cotidianas que funciona de otra manera.
        Partículas y ondas, función de onda, efecto túnel, fluctuaciones de vacío, pares de Cooper, campo de Higgs, Quark y Leptones, Hadrones: Bariones y Mesones, los nucleones, todos fermiones, y partículas mediadoras  de las fuerzas llamadas Bosones (W+ W- y Zº, los Gluones, el fotón, y el desaparecido Gravitón de la fuerza gravitaroria. Todo ello, nos lleva a un mundo de fantásticas posibilidades que se nos hace extrañas y familiares al mismo tiempo.
        Quien asegure que conoce la meca´nica cuántica es, al menos, algo osado y presuntuoso, ya que, son muchas las cuestiones que nos quedan por resolver y muchas otras que, ni sabemos que están ahí presentes y que surgirán ante nosotros a medida que avancemos para nuestro asombro y delicia.
        En fin amigo, ¡la cuántica! desde que Planck sembró aquella semilla em 1900, ha dado y dará aún mucho que hablar.
        Saludos.
         

        Responder
  5. 5
    Fandila
    el 11 de octubre del 2011 a las 10:57

    Sin embargo si h = 6,62 · 10^-34 se considerase como multiplo de 1, el cuanto verdadero, es decir el cuanto que conforma a h, como multiplo de 1,  6.62 unidades, el problema en cuanto a la energía desaparece, pues cualquier energía es multiplo de 1, y h sería un múltiplo partícular del verdadero “h”=1. Con su factor de escala.
    Para la masa, por la ecuación de la energía, como m=E/c^2 el cuanto de masa vedría a ser h/c^2, es decir 1/c^2, una constante (con su factor de escala). Cualquier masa sería múltiplo de este cuanto. Sabido es que suele expresarse la masa, por ejemplo, en ev /c^2. Y cualquiera sería como n · (ev)/c^2, (ev es multiplo de 1 según su factor o equivalencia).
    O algo así.
    Saludos

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