¡Las fluctuaciones de vacío! Que, al igual que las ondas “reales” de energía positiva, están sujetas a las leyes de la dualidad onda/partícula; es decir, tienen tanto aspectos de onda como aspectos de partícula.

Las ondas fluctúan de forma aleatoria e impredecible, con energía positiva momentáneamente aquí, energía negativa momentáneamente allí, y energía cero en promedio.  El aspecto de partícula está incorporado en el concepto de partículas virtuales, es decir, partículas que pueden nacer en pares (dos partículas a un tiempo), viviendo momentáneamente de la energía fluctuacional tomada prestada de regiones “vecinas del espacio”, y que luego se aniquilan y desaparecen, devolviendo la energía a esas regiones vecinas. Si hablamos de fluctuaciones electromagnéticas del vacío las partículas virtuales son fotones virtuales; en el caso de fluctuaciones de la Gravedad en el vacío, son gravitones virtuales.

Claro que, en realidad, sabemos poco de esas “regiones vecinas” de las que tales fluctuaciones toman la energía. ¿Qué es lo que hay allí? ¿Está en esa región de la tan buscada partícula de Higgs, hallada por fín?

En realidad sabemos que las fluctuaciones de vacío son, para las ondas electromagnéticas y gravitatorias, lo que “los movimientos de degeneración claustrofóbicos” son para los electrones.

Llegados a este punto de fluctuaciones de vacío, ondas electromagnéticas y gravitatorias, y  movimientos de degeneración claustrofóbicos de electrones, no puedo dejar de mirar, retrospectivamente y pensar en cuánto tiempo han estado en escena nuestros ancestros inteligentes (Homo Sapiens) vemos que han sido sólo unos pocos cientos de miles de años, mucho menos que la edad del universo, trece mil setecientos millones de años, o sea, menos de dos centésimos de la Historia del Universo.  Pero si nuestros descendientes se prolongan en el futuro indefinidamente, la situación dará la vuelta y cuando se precise el tiempo que llevamos en el universo, se hablará de miles de millones de años. Y, si eso llega, si se hace una realidad, entonces sí, podremos decir que…¡sabremos!

• C: Carbono
• H: Hidrógeno
• O: Oxígeno
• N: Nitrógeno

• P: Fósforo
• Fe: Hierro
• S: Azufre
• Ca: Calcio
• I: Yodo
• Na: Sodio
• K: Potasio
• Cl: Cloro
• Mg: Magnesio
• F: Flúor
• Cu: Cobre
• Zn: Zinc

1. Glúcidos o Hidratos de Carbono
2. Lípidos
3. Proteínas
4. Ácidos Nucleicos

A veces, nuestra imaginación dibuja mundos de ilusión y fantasía pero,  en realidad… ¿serán sólo sueños?, o, por el contrario, pudieran estar en alguna parte del Universo todas esas cosas que imaginamos aquí y que pudieran estar presentes en otros mundos lejanos que, como el nuestro…posibilito la llegada de la vida para poder discutir de fluctuaciones de vacío y… tántas cosas!

Si confinamos un electrón a una pequeña región del espacio, entonces, por mucho que un trate de frenarlo y detenerlo, el electrón está obligado por las leyes de la mecánica cuántica a continuar moviéndose aleatoriamente, de forma impredecible.  Este movimiento de degeneración claustrofóbico que produce la presión mediante la que una estrella enana blanca se mantiene contra su propia compresión gravitatoria o, en el mismo caso, la degeneración de los neutrones, mantiene estable a la estrella de neutrones que, obligada por la fuerza que se genera de la degeneración de los neutrones, es posible frenar la enorme fuerza de gravedad que está comprimiendo a la estrella.

Una enana blanca es una pequeña y densa estrella que es el resultado final de la evolución de todas las estrellas (por el ejmplo el Sol), excepto las muy masivas. Según todos los estudios y observaciones, cálculos, midelos de simulación, etc., estas estrellas se forman cuando, al funal de la vida de las estrellas medianas, al final de sus vidas, cuando agotan el combustible de fusión nuclear, se produce el colapso de sus núcleos estelares, y quedan expuestas cuando las partes exteriores de la estrella son expulsadas al espacio interestelar para formar una Nebulosa Planetaria.

El Núcleo se contrae bajo su propia gravedad hasta que, habiendo alcanzado un tamaño similar al de la Tierra , se ha vuelto tan densa (5 x 10⁸ Kg/m³) que sólo evista su propio colapso  por la preseión de degeneración de los electrones (como sabeis los electrones son fermiones que estando sometidos al Principio de exclusión de pauli, no pueden ocupar niguno de ellos el mismo lugar de otro al tener el mismo número cuántico y, siendo así, cuando se cjuntan demasiado, se degeneran y comienzan una frenética carrera que, en su intensidad, puede, incluso frenar la implosión de una estrella -como es el caso de las enanas blancas).

Las enanas blancas se forman con muy altas temperaturas superficiales (por encima de los 10 000 K) debido al calor atrapados en ellas, y liberado por combustiones nucleares previas y por la intensa atracción gravitacional que sólo se ve frenada por la degeneración de los electrones que, finalmente, la estabilizan como estrella enana blanca.

De la misma forma, si tratamos de eliminar todas las oscilaciones electromagnéticas o gravitatorias de alguna región del espacio, nunca tendremos éxito.  Las leyes de la mecánica cuántica insisten en que siempre quedarán algunas oscilaciones aleatorias impredecibles, es decir, algunas ondas electromagnéticas y gravitatorias aleatorias e impredecibles.

Estas fluctuaciones del vacío no pueden ser frenadas eliminando su energía (aunque algunos estiman que, en promedio, no contienen energía en absoluto).

Claro que, como antes decía, aún nadie ha podido medir de ninguna manera la cantidad real de energía que se escapa de ese supuesto “vacío”, como tampoco se ha medido la cantidad de fuerza gravitatoria que puede salir de ese mismo espacio “vacío”.

Si la energía es masa y si la masa produce gravedad, entonces ¿Qué es lo que hay en ese mal llamado “espacio vacío”? que resulta estar lleno y del que surgen partículas virtuales de efímera vida con energías que, al parecer son prestadas.

No puedo contestar de momento esa pregunta, sin embargo, parece que no sería un disparate pensar en la existencia allí, de alguna clase de materia que, desde luego, al igual que la bariónica que sí podemos ve, genera energía y ondas gravitacionales que, de alguna manera que aún se nos oculta, escapa a nuestra vista y solo podemos constatar sus efectos al medir las velocidades a que se alejan las galaxias unas de otras: velocidad de expansión del Universo que no se corresponde en absoluto, con la masa y la energía que podemos ver.

Estoy atando cabos sueltos, uniendo piezas y buscando algunas que están perdidas de tal manera que, por mucho que miremos, nunca podremos ver.  El lugar de dichas piezas pérdidas no está en nuestro horizonte y se esconde más allá de nuestra percepción sensorial. Mientras no seámos capaces de sobrepasar las unidades de Planck… estaremos limitados en nuestras teorías actuales que, a pesar de tener cien años… ninguna nueva a venido a superarlas: Mecánica cuántica y Relatividad.

Estamos en un momento crucial de la Física, las matemáticas y la cosmología, y debemos, para poder continuar avanzando, tomar conceptos nuevos que, a partir de los que ahora manejamos, nos permitan traspasar los muros que nos están cerrando el paso para llegar a las supercuerdas, a la materia oscura o a una teoría cuántica de la gravedad que, también está implícita en la teoría M. Estamos anclados, necesitamos nuevas y audaces ideas que puedan romper las cadenas “virtuales” que atan nuestras mentes a ideas del pasado. Recordarlo sí, tener en cuenta lo bueno y sus enseñanzas…también pero, quedar anclados en él… ¡NO!

Lo mismo que podemos inventar ingenios para que estudien agujeros negros masivos en Andrómeda, de la misma manera, tendremos que ingeniarnóslas para descubrir, en el mundo de lo muy pequeño, si es cierto que existen esas cuerdas vibrantes de las que hablan y que, al parecer, están más allá de los Quarks

En su momento, todas aquellas teorías, todas aquellas ideas eran perfectas y cumplieron su misión.  Sin embargo, ahora no nos dejan continuar y debemos preparar nuestras mentes para evolucionar hacia nuevos conceptos y ahondar en aquellos que, aún estando ahí presentes, no somos capaces de utilizar, como por ejemplo, el Hiperespacio de tan enorme importancia en el futuro de la Humanidad.

El Hiperespacio podría ser el camino de burlar la velocidad de la luz. Es decir, ya que el Universo, en su espacio tradicional, nos impide viajar más rápido que la luz, busquemos ese otro camino que, ¡si lo permite! de manera tal que, podremos viajar a otras galaxias en tiempos soportables para nuestras efímeras vidas.

Cuándo sepamos “ver” dimensiones más altas, todo será mucho más sencillo y encontraremos las respuestas a los problemas que hoy, no sabemos resolver. Al mencionar dimensiones más altas (ahora trabajamos con tres de espacio y una temporal), se me ocurre, como ejemplo cotidiano y sencillo, a aquel general que, escondido con su ejercito en la profundidad de un enorme valle, no sabía que estrategia emplear para vencer a sus enemigos.

Pensando en como resolver el problema, ascendió con sus capitanes a lo alto de la montaña, y, con sorpresa vio, desde aquella “altura”, todas las posiciones enemigas.

Así, de aquel nuevo conocimiento, adquirido al subir más alto, pudo extraer consecuencias de lo que vió para preparar la estrategia adecuada y alcanzar la meta, en este caso, la victoria.

Pues, de la misma manera, nosotros también estamos obligados a subir a la montaña que nos permita ver más allá de las matemáticas topológicas, más allá de las fluctuaciones de vacío, más allá de los quarks, más allá de las singularidades y… ¿Por qué no decirlo? ¡Más allá de nuestro propio Universo!

No podemos olvidarnos de que dentro de varios eones, nuestro Universo podría morir.  Estamos obligados a buscar la manera (si existe), de escapar de ese destino fatal.

Si el Universo, finalmente, se convierte en una singularidad que es una región donde (según las leyes de la relatividad general) la curvatura del espacio-tiempo se hace infinitamente grande, y el espacio-tiempo deja de existir, toda vez que, la singularidad es también una región de gravedad de marea infinita, es decir, una región donde la gravedad ejerce un tirón infinito sobre todos los objetos a lo largo de algunas direcciones y una compresión infinita a lo largo de otras.

Después de crear un horizonte de agujero negro a su alrededor, dicen las ecuaciones que describen este fenómeno, la materia toda que compone nuestro Universo, continuará implosionando, inexorablemente, hasta alcanzar densidad infinita y volumen cero, creándose así la singularidad que estará fundida con el espacio-tiempo.

Bueno, es sólo una palabra porque, la nada, no existe, siempre hay.

Si eso ocurre (como es muy posible), seguramente, de esa “nada” que se ha formado, más pronto o más tarde surgirá, mediante una enorme explosión, un nuevo Universo que, no sabemos si será igual, con las mismas fuerzas y las mismas leyes que el que ahora tenemos.

Así que, si todo esto resulta ser así ¿No sería una irresponsabilidad, el no hacer nada? ¡Claro que sí!

Tenemos que continuar, cada uno en la medida de sus posibilidades, procurando avanzar hacía un futuro de profundos conocimientos que nos permitan, algún día lejano, muy lejano situado en eso que llamamos futuro, escapar de ese escenario de destrucción.

Si por el contrario, el final del Universo, no es el Big Crunch, y resulta que estamos viviendo en un Universo plano con expansión eterna, tampoco parece que el panorama sea más alentador, sólo varía que, en lugar de terminar con una enorme bola de fuego a miles de millones de grados, el alejamiento paulatino de las galaxias por la expansión imparable del Universo, nos traerá el frío del cero absoluto, -273 grados, con lo cual, de la misma manera, el fina sería igual de triste para nosotros: ¡La desaparición de la Humanidad!

               ¿Será el final de nuestro universo el frío absoluto?

Si el universo finalmente se convierte en una singularidad que es una región donde (según las leyes de la relatividad general) la curvatura del espacio-tiempo se hace infinitamente grande, y el espacio-tiempo deja de existir, toda vez que la singularidad es también una región de gravedad de marea infinita, es decir, una región donde la gravedad ejerce un tirón infinito sobre todos los objetos a lo largo de algunas direcciones y una compresión infinita a lo largo de otras.

Región de una densidad inusitada donde se concentra la masa en una fase más alla de la neutrónica, desconocida, que se reduce y reduce hasta desaparecer, sólo deja a su alrededor un disco de acreción de extrema energía que marca el horizonte de suscesos, la linea de irás y no volveras. A partir de ese momento, el Agujero negro engullirá todo lo que por sus dominios pueda pasar y la singularidad, se hará más y más densa cada vez.

Después de crear un horizonte de agujero negro a su alrededor, dicen las ecuaciones que describen este fenómeno, la materia toda que compone nuestro universo, continuará implosionando, inexorablemente, hasta alcanzar densidad infinita y volumen cero, creándose así la singularidad que estará fundida con el espacio-tiempo.

Si eso ocurre (como es muy posible), seguramente, de esa “nada” que se ha formado, más pronto o más tarde surgirá mediante una enorme explosión un nuevo universo, que no sabemos si será igual, con las mismas fuerzas y las mismas leyes que el que ahora tenemos. Como nos queda aún mucho tiempo para llegar a ese hipotético final, retomemos mejor, otras cuestiones futuras pero, más cercanas.

¿Qué son las D-branas? ¿Por qué las requiere la teoría de cuerdas? La respuesta básica a la segunda pregunta es que dan sentido a las cuerdas abiertas que intervienen en la teoría tipo I: cada uno de los dos extremos de una cuerda abierta debe residir en una D-brana. Pero dos extremos de la cuerda abierta residen en un subespacio (q + 1)-dimensional de género tiempo llamado una D-brana, o D-q-brana que es una entidad esencialmente clásica (aunque posee propiedades de supersimetría), que representa una solución de la teoría de supergravedad 11 dimensional.

En todo esto habrá que estar atentos a lo que nos pueda decir la topología, esa rama de la geometría que se ocupa de las propiedades de los objetos geométricos que permanecen inalterables bajo deformaciones continuas, como el doblado o el estirado. Las técnicas matemáticas que emplean la topología son de gran importancia en las teorías modernas de las interacciones fundamentales.

En respuesta a la primera pregunta, una D-brana es una estructura de género tiempo, como más arriba indico, 1 + q dimensiones espaciotemporales. Invocando una de las dualidades de la teoría M, alternativamente podemos considerar una D-brana como una solución de las ecuaciones de alguna otra versión de la teoría M de cuerdas.

Las D-branas aparecen en muchas discusiones modernas relacionadas con las cuerdas (por ejemplo, en la entropía de los agujeros negros). Suelen tratarse como si fueran objetos clásicos que yacen dentro del espacio-tiempo completo 1 + 9 (o 1 + 10) dimensiones. La “D” viene de “Dirichlet”, por analogía con el tipo de problema de valor de frontera conocido como un problema de Dirichlet, en el que hay una frontera de género tiempo sobre la que se especifican datos (según Peter G. Lejeune Dirichlet, un eminente matemático francés que vivió entre 1.805 y 1.859).

Con la introducción de tales “D-branas” varios teóricos han expresado una “filosofía de cuerdas” que parece representar un profundo cambio respecto a lo anterior.  En efecto, se afirma con cierta frecuencia que podríamos “vivir en” esta o esa D-brana, lo que significa que nuestro espaciotiempo percibido podría yacer realmente dentro de  una D-brana, de modo que la razón de que no se perciban ciertas “dimensiones extra” se explicaría por el hecho de que “nuestra” D-brana no se extiende a esas dimensiones extra.

La última posibilidad sería la postura más económica, por supuesto, de modo que “nuestra” D-brana (una D-3 brana) sería de 1+3 dimensiones.  Esto no elimina los grados de libertad en las dimensiones extra, pero los reduce drásticamente.  ¿Por qué es así? Nuestra perspectiva ahora es que somos “conscientes” de los grados de libertad que están implicados en el interior profundo del espacio de mayores dimensiones entre los D-branas, y es en esto donde se está dejando sentir la excesiva libertad funcional.

Solo vamos a ser conscientes de dimensiones extra allí donde inciden directamente sobre las D-brana en la que “vivimos”.  Más que una imagen de tipo “espacio cociente” que evoca la analogía de Kaluza-Klein original.

              Con “los ojos de la Mente” podemos ver… ¡tántas cosas!

Así, nuestro espaciotiempo observado aparece ahora como un subespacio 4-dimensional del espacio real de dimensiones más altas. Con algo de imaginación, lo podemos visualizar en nuestra mente.

¿Cuánta libertad funcional esperamos ahora? La situación es ahora algo parecida a la imagen geométrica que hemos adoptado en el gráfico para obtener una perspectiva más convencional con respecto a la “supergeometría”.

Puesto que ahora estamos interesados solo en el comportamiento en la D-brana (que suponemos que es geométricamente una (1+3)-superficie ordinaria), podemos imaginar que nuestra libertad funcional se ha convertido en una aceptable αM^α3, aunque para un M bastante grande.  Sin embargo, incluso esto supone que la restricción de la dinámica en el 10-espacio (u 11-espacio) completo nos proporciona ecuaciones dinámicas dentro de “nuestra” D-brana 4-dimensional que son del tipo convencional, de modo que bastará los datos iniciales en una 3-superficie para determinar el comportamiento en todo el 4-espacio.  Esto es difícilmente probable, en general, de modo que aún cabe esperar un excesivo αM^α3.

¡El problema no ha desaparecido todavía!

Tal actitud hacia las D-branas se ha utilizado para intentar resolver el “problema de la jerarquía” de un gráfico que aquí omito, bastante os he complicado la vida al final de este trabajo que, empezó por un camino muy distinto al que hemos llegado al final debido a mi despiste que, veo pasar una mosca y la sigo.

emilio silvera.

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                                                                         Agujeros negros – Archivo

Descubren los agujeros negros más masivos del Universo, casi la mitad de la muestra estudiada tenía una masa superior a 10.000 millones de veces la del Sol.

ABC-ciencia

El estudio de 72 galaxias distribuidas en un radio de 3.500 millones de años luz alrededor de la Tierra acaba de desbaratar lo que los astrónomos creían saber sobre el tamaño que pueden alcanzar los agujeros negros supermasivos que albergan en sus centros. El trabajo, recién publicado en Monthly Notices of the Royal Astronomical Society revela, en efecto, que estos auténticos “monstruos espaciales” son capaces de crecer mucho más, y mucho más deprisa, de lo que se esperaba.

Gracias a los datos recopilados por el Telescopio de rayos X Chandra, de la NASA, un equipo internacional de astrofísicos, dirigido por Julie Hlavacek-Larrondo, catedrática de Astrofísica de la Unversidad de Canadá y la española Mar Mezcua, del Instituto de Ciencias Espaciales del CSIC, ha logrado detectar a los que probablemente sean los agujeros negros más grandes jamás descubiertos hasta ahora. Gigantes espaciales que, además, son capaces de crecer incluso más rápido de lo que lo hace la tasa de crecimiento de estrellas en sus respectivas galaxias.

El hallazgo nos ayudará a comprender mejor cómo evolucionan las galaxias, que son los componentes básicos de nuestro Universo, pero deja en el aire una intrigante pregunta: ¿Cómo pueden estos agujeros negros llegar a ser tan increíblemente masivos?

“Sabemos que los agujeros negros son fenómenos extraordinarios – afirma Hlavacek-Larrondo- . Así que no sorprende que los ejemplares más extremos desafíen las reglas que hemos establecido hasta ahora”.

Los investigadores calcularon las masas de los agujeros negros analizando sus emisiones de ondas de radio y rayos X. Y los resultados mostraron que eran aproximadamente 10 veces mayores de lo que se esperaba encontrar según los cálculos previos. Además, se toparon con la sorpresa de que que casi la mitad de los agujeros negros estudiados eran al menos 10 mil millones de veces más masivos que el Sol.

Los objetos más poderosos

“Descubrimos agujeros negros que son mucho más grandes y mucho más masivos de lo previsto -afirma Mezcua-. ¿Pero son tan grandes porque tuvieron una ventaja al nacer o porque ciertas condiciones ideales les permitieron crecer más rápidamente durante miles de millones de años? Por el momento, no hay forma de saberlo”.

Tendría sentido pensar que cuanto más grande sea la galaxia, más grande será también el agujero negro que merodea en su centro, pero esta relación ha resultado no ser tan simple como los investigadores pensaban. Muchos de los “superagujeros negros” detectados, en efecto, estaban en el interior de galaxias que, en teoría, eran demasiado pequeñas para contenerlos.

Para tratar de comprender por qué llegaron a crecer tanto, los investigadores proponen dos hipótesis. O bien nacieron ya grandes, y después formaron o arrastraron a una galaxia a su alrededor; o bien nacieron y crecieron dentro de la galaxia siguiendo un proceso que los científicos no han logrado aún comprender.

Para Hlavacek-Larrondo, los agujeros negros supermasivos “son los objetos más poderosos del Universo. Y para comprender cómo se formaron y evolucionan las galaxias, primero debemos comprender a estos agujeros negros”.

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Dejando a un lado, a los primeros descubridores, como Ptolomeo, Copérnico, Galileo, Kepler y otros muchos de tiempos pasados, tenemos que atender a lo siguiente:

La primera revolución de la física se produjo en 1905, cuando Albert Einstein con su relatividad especial nos ayudo en nuestra comprensión de las leyes que gobiernan el universo. Esa primera revolución nos fue dada en dos pasos: 1905 la teoría de la relatividad especial y en 1915, diez años después, la teoría de la relatividad general. Al final de su trabajo relativista, Einstein concluyó que el espacio y el tiempo están distorsionados por la materia y la energía, y que esta distorsión es la responsable de la gravedad que nos mantiene en la superficie de la Tierra, la misma que mantiene unidos los planetas del Sistema Solar girando alrededor del Sol y también la que hace posible la existencia de las galaxias.

Sus postulados.

Nos dio un conjunto de ecuaciones a partir de los cuales se puede deducir la distorsión del tiempo y del espacio alrededor de objetos cósmicos que pueblan el universo y que crean esta distorsión en función de su masa.  Se han cumplido 100 años desde entonces y miles de físicos han tratado de extraer las predicciones encerradas en las ecuaciones de Einstein (sin olvidar a Riemann) sobre la distorsión del espaciotiempo.

Un agujero negro es lo definitivo en distorsión espaciotemporal, según las ecuaciones de Einstein: está hecho única y exclusivamente a partir de dicha distorsión. Su enorme distorsión está causada por una inmensa cantidad de energía compactada: energía que reside no en la materia, sino en la propia distorsión. La distorsión genera más distorsión sin la ayuda de la materia. Esta es la esencia del agujero negro.

Si tuviéramos un agujero negro del tamaño de la calabaza más grande del mundo, de unos 10 metros de circunferencia, entonces conociendo las leyes de la geometría de Euclides se podría esperar que su diámetro fuera de 10 m / π = 3’14159…, o aproximadamente 3 metros. Pero el diámetro del agujero es mucho mayor que 3 metros, quizá algo más próximo a 300 metros. ¿Cómo puede ser esto? Muy simple: las leyes de Euclides fallan en espacios muy distorsionados.

Como se puede ver, el objeto pesado o masivo colocado en el centro de la superficie elástica, se ha hundido a consecuencia del peso y ha provocado una distorsión que cambia completamente la medida original del diámetro de esa circunferencia que, al ser hundida por el peso, se agranda en función de éste.

Al espacio le ocurre igual.

De la misma manera se puede considerar que el espacio tridimensional dentro y alrededor de un agujero negro está distorsionado dentro de un espacio plano de dimensión más alta (a menudo llamado hiperespacio), igual que la lámina bidimensional está distorsionada como describo en el dibujo de la página anterior.

Lo más intrigante de los agujeros negros es que, si caemos en uno, no tendremos manera alguna de salir o enviar señales a los que están fuera esperándonos. Pensemos que la masa de la Tierra que es de 5’974X10²⁴ Kg  (densidad de 5’52 gramos por cm³), requiere una velocidad de escape de 11’18 Km/s, ¿cuál no será la masa y densidad de un agujero negro si pensamos que ni la luz que viaja a 299.792’458 Km/s puede escapar de su fuerza de gravedad?

Es tanta la densidad que no sólo distorsiona el espacio, sino que también distorsiona el tiempo según las ecuaciones de Einstein: el flujo del tiempo se frena cerca del agujero, y en un punto de no retorno (llamado el “horizonte” del agujero, o límite), el tiempo está tan fuertemente distorsionado que empieza a fluir en una dirección que normalmente sería espacial; el flujo de tiempo futuro está dirigido hacia el centro del agujero. Nada  puede moverse hacia atrás en el tiempo1, insisten las ecuaciones de Einstein; de modo que  una vez dentro del agujero, nos veremos arrastrados irremisiblemente hacia abajo con el flujo del tiempo, hacia una “singularidad” escondida en el corazón del agujero; en ese lugar de energía y densidad infinitas, el tiempo y el espacio dejan de existir.

Como he apuntado antes en alguna parte de este mismo trabajo, la descripción relativista del agujero negro procede de la obra de Kart Schwarzschil. En 1.916, apenas unos meses después de que Einstein formulara sus famosas ecuaciones, Schwarzschild fue capaz de resolver exactamente las ecuaciones de Einstein y calcular el campo gravitatorio de una estrella masiva estacionaria.

La solución de Schwarzschild tiene varias características interesantes:

• En primer lugar, una línea de no retorno rodea al agujero negro: cualquier objeto que se acerque a una distancia menor que este radio será absorbido inevitablemente en el agujero.
• En segundo lugar, cualquiera que cayera dentro del radio de Schwarzschild será consciente de un “universo especular”  al “otro lado” del espacio-tiempo.

Einstein no se preocupaba por la existencia de este extraño universo especular porque la comunicación con él era imposible. Cualquier aparato o sonda enviada al centro de un agujero negro encontraría una curvatura infinita; es decir, el campo gravitatorio sería infinito y, como ya dije antes, ni la luz podría escapar a dicha fuerza, e igualmente, las ondas de radio electromagnéticas también estarían prisioneras en el interior de un agujero negro, con lo cual, el mensaje nunca llegará al exterior. Allí dentro, cualquier objeto material sería literalmente pulverizado, los electrones serían separados de los átomos, e incluso los protones y los neutrones dentro de los propios núcleos serían desgajados. Además, para penetrar en el universo alternativo, la sonda debería ir más rápida que la velocidad de la luz, lo que no es posible; c es la velocidad límite del universo.

Así pues, aunque este universo especular es matemáticamente necesario para dar sentido a la solución de Schwarzschild, nunca podría ser observado físicamente (al menos por el momento).

En consecuencia, el famoso puente de Einstein-Rosen que conecta estos dos universos fue considerado un artificio matemático.

El puente de Einstein-Rosen conecta universos diferentes. Einstein creía que cualquier cohete que entrara en el puente sería aplastado, haciendo así imposible la comunicación entre estos dos universos. Sin embargo, cálculos más recientes muestran que el viaje a través del puente, aunque podría ser muy difícil, no sería imposible; existen ciertas posibilidades de que algún día se pudiera realizar

Posteriormente, los puentes de Einstein-Rosen se encontraron pronto en otras soluciones de las ecuaciones gravitatorias, tales como la solución de Reisner-Nordstrom que describe un agujero eléctricamente cargado. Sin embargo, el puente de Einstein-Rosen siguió siendo una nota a pie de página curiosa pero olvidada en el saber de la relatividad.

Las cosas comenzaron a cambiar con la solución que el trabajo matemático presentado por el neozelandés Roy Kerr, presentado en 1.963, encontró otra solución exacta de las ecuaciones de Einstein. Kerr supuso que cualquier estrella colapsante estaría en rotación. Así pues, la solución estacionaria de Schwarzschild para un agujero negro no era la solución físicamente más relevante de las ecuaciones de Einstein.

La solución de Kerr causó sensación en el campo de la relatividad cuando fue propuesta. El astrofísico Subrahmanyan Chandrasekhar llegó a decir:

“La  experiencia que ha dejado más huella en mi vida científica, de más de cuarenta años, fue cuando comprendí que una solución exacta de las ecuaciones de Einstein de la relatividad general, descubierta por el matemático Roy Kerr, proporciona la representación absolutamente exacta de innumerables agujeros negros masivos que pueblan el universo. Este estremecimiento ante lo bello, este hecho increíble de que un descubrimiento motivado por una búsqueda de la belleza en matemáticas encontrará su réplica exacta en la naturaleza, es lo que me lleva a decir que la belleza es aquello a lo que lleva la mente humana en su nivel más profundo.”

La solución de Kerr de un agujero negro giratorio permite que una nave espacial pase a través del centro del agujero por el eje de rotación y sobrevivir al viaje a pesar de los enormes pero finitos campos gravitorios en el centro, y seguir derecha hacia el otro universo especular sin ser destruida por la curvatura infinita.

El universo, como todos sabemos, abarca a todo lo que existe, incluyendo el espacio y el tiempo y, por supuesto, toda la materia está en la forma que esté constituida. El estudio del universo se conoce como cosmología. Si cuando escribimos Universo nos referimos al conjunto de todo, al cosmos en su conjunto, lo escribimos con mayúscula, el universo referido a un modelo matemático de alguna teoría física, ese se escribe con minúscula.

“La Vía Láctea, nuestra galaxia, junto a todas sus compañeras, se encuentra en el borde mismo de un enorme vacío de más de mil millones de años luz de extensión y en cuyo interior no hay “nada”. Esa es la extraordinaria conclusión presentada por un grupo de cosmólogos en la reunión anual de la Sociedad Astronómica Americana, que se celebra estos días en Austin, Texas.”

El universo real está constituido en su mayoría por espacios aparentemente vacíos, existiendo materia concentrada en galaxias formadas por estrellas y gas (también planetas, quásares, púlsares, cometas, estrellas enanas blancas y marrones, estrella de neutrones, agujeros negros y otros muchos objetos espaciales). El universo se esta expandiendo, las galaxias se alejan continuamente los unas de las otras. Existe una evidencia creciente de que existe una materia oscura invisible, no bariónica, que puede constituir muchas veces la masa total de las galaxias visibles. El concepto más creíble del origen del universo es la teoría del Big Bang de acuerdo con la cual el universo se creó a partir de una singularidad infinita de energía y densidad a inmensas temperaturas de millones de grados K, hace ahora unos 15.000 millones de años.

Los científicos y estudiosos del universo han especulado mucho con la clase de universo que nos acoge, y para ello han realizado las más diversas teorías de universo abierto, universo cerrado, universo estacionario, universo en expansión, inflacionario, estático, oscilatorio, etc, etc, etc.  Pero, ¿cuál tenemos?

A ciencia cierta, hoy nadie puede contestar esa pregunta y, según todos los indicios, estamos en un universo plano en general y curvado en particular en aquellos lugar donde estás presentes las grandes masas de materia pero, la respuesta quedará en el aire hasta que sepamos descubrir la dichosa materia oscura (si finalmente existe).

emilio silvera

[?]

Cuando Einstein tenía 26 años, calculó exactamente cómo debía cambiar la energía si el principio de la relatividad era correcto, y descubrió la relación E=mc².  Puesto que la velocidad de la luz al cuadrado (c²) es un número astronómicamente grande, una pequeña cantidad de materia puede liberar una enorme cantidad de energía.  Dentro de las partículas más pequeñas de materia hay un almacén de energía, más de un millón de veces la energía liberada en una explosión química.  La materia, en cierto sentido, puede verse como un depósito casi inagotable de energía; es decir, la materia es en realidad, energía condensada.

                    Con tan poco, nos dijo tanto

Einstein supo ver que las dimensiones más altas tienen un propósito: unificar los principios de la Naturaleza.  Al añadir dimensiones más altas podía unir conceptos físicos que, en un mundo tridimensional, no tienen relación, tales como la materia y la energía o el espacio y el tiempo que, gracias a la cuarta dimensión de la relatividad especial, quedaron unificados.

Desde entonces, estos conceptos, los tenemos que clasificar, no por separado, sino siempre juntos como dos aspectos de un mismo ente materia-energía por una parte y espacio-tiempo por la otra.  El impacto directo del trabajo de Einstein sobre la cuarta dimensión fue, por supuesto, la bomba de hidrógeno, que se ha mostrado la más poderosa creación de la ciencia del siglo XX.  Claro que, en contra del criterio de Einstein que era un pacifista y nunca quiso participar en proyectos de esta índole.

¿Qué me diríais si os contara que un niño que está montado en un tiovivo es atraído hacia el exterior por las estrellas lejanas? Este concepto junto con la relatividad del movimiento nacieron del Principio de Mach que acuñó el mismísimo Einstein. Para entenderlo mejor vamos a seguir una pequeña cronología.

Einstein completó su teoría de la relatividad con una segunda parte que, en parte, estaba inspirada por lo que se conoce como principio de Mach, la guía que utilizó Einstein para crear esta parte final y completar su teoría de relatividad general.

Einstein enunció que, la presencia de materia-energía determina la curvatura del espacio-tiempo a su alrededor.  Esta es la esencia del principio físico que Riemann no logró descubrir: la curvatura del espacio está directamente relacionada con la cantidad de energía y materia contenida en dicho espacio.

Esto, a su vez, puede resumirse en la famosa ecuación de Einstein, que esencialmente afirma: Materia-energía determina la curvatura del espacio-tiempo

Se denota 

Esta ecuación engañosamente corta es uno de los mayores triunfos de la mente humana (me he referido a ella en otras muchas ocasiones).  De ella emergen los principios que hay tras los movimientos de las estrellas y las galaxias, los agujeros negros, el big bang, y seguramente el propio destino del Universo.

Ecuaciones de Maxwell

Es curiosa la similitud que se da entre la teoría del electromagnetismo y la relatividad general, mientras que Faraday experimentó y sabía los resultados, no sabía expresarlos mediante las matemáticas y, apareció Maxwell que, finalmente formuló la teoría.

Einstein, al igual que Faraday, había descubierto los principios físicos correctos, pero carecía de un formulismo matemático riguroso suficientemente potente para expresarlo (claro que Faraday no era matemático y Einstein si lo era).  Carecía de una versión de los campos de Faraday para la Gravedad.  Irónicamente, Riemann tenía el aparato matemático, pero no el principio físico guía, al contrario que Einstein.  Así que, finalmente, fue Einstein el que pudo formular la teoría con las matemáticas de Riemann.

emilio silvera

[?]

Las paradojas

Analizar el mismo problema desde distintas perspectivas puede resultar esclarecedor; ilumina nuestros conocimientos, que ante las diferentes respuestas puede ver la verdadera, que en la mayoría de los casos viene a ser lo que ocurre realmente en la Naturaleza, aunque no siempre estamos capacitados para entenderlo.

Los avances de la ciencia natural pueden verse en buena parte como un alejamiento progresivo de la intuición vulgar y del realismo ingenuo. El conocimiento de los fenómenos de la Naturaleza nos llevó a un estadio de racionalidad y entendimiento coherente de los hechos que ocurrían a nuestro alrededor, de manera tal que se cumplía el objetivo de la ciencia, comenzando por la observación elemental a la que seguía la experimentación (observación provocada) y culminando en una primera parte o estadio con el enunciado de leyes empíricas.

Estas observaciones primarias tienen lugar a través de nuestras categorías sensoriales, que se han forjado, pulido y refinado a lo largo de la evolución de nuestros sentidos, como el tacto, la vista, el oído, etc.

Muones viajeros observados por otros en reposo

Es con esas categorías macroscópicas con las que se tienen que elaborar los primeros conceptos abstractos. No es de extrañar por tanto que cuando la investigación de la Naturaleza alcanza el dominio microscópico (por ejemplo, la micra), y luego el atómico (el Ángstrom), como ocurrió a principios del pasado siglo XX, nuestras concepciones espaciotemporales primarias sean insuficientes para expresar en sus propios términos los nuevos fenómenos que no son observables a simple vista, lo que nos enseña nuestras limitaciones para conocer el mundo que nos rodea.

Pero hay otras sorpresas. Muchos avances científicos deben verse como una limitación a nuestras ideas e intuiciones ingenuas. Así, por ejemplo, el átomo aparece como un límite a la (natural) división de la materia en unidades cada vez más pequeñas, la velocidad de la luz c se muestra como la máxima velocidad alcanzable en nuestro universo, y la medición simultánea de varias dinámicas conjugadas posee intrínsecamente una incertidumbre mínima. No estamos preparados evolutivamente para incorporar esas limitaciones, y tanto el papel de c como el de h son muy “antiintuitivos”.

Y no sólo es en lo muy pequeño donde debemos estar preparados para enfrentarnos a novedades inesperadas, en contra del sentido común ingenuo. En el futuro, serán derribadas barreras que hoy parecen firmes e inamovibles. Una de esas barreras será c, ya que de no ser así, ¿cómo podríamos escapar de nuestro sistema solar hacia otros mundos?

Recordemos cuánto nos costó aceptar que la Tierra es redonda y no plana, que el hombre no es el centro de Universo, o que la fuerza engendra aceleración más bien que velocidad. Hasta que hemos comprendido todo eso, y hasta que lo hemos incluido en los conocimientos del hombre culto, ha pasado mucho tiempo; un largo camino que va desde Aristóteles hasta Galileo.

Los inconvenientes aparecen cuando menos los esperamos, cuando se contrastan experimentos y, sin embargo, es el avance en el marco conceptual quien a la larga hará que las dificultades desaparezcan y que los aspectos paradójicos dejen de serlo. Hoy viajamos en avión y vemos la redondez del planeta, y aceptamos que las cosas están hechas de átomos, donde los electrones casi puntuales nadan en un espacio esencialmente vacío, aunque los objetos que vemos nos parezcan macizos y continuos. Bajo este enfoque, en el que el progreso científico debe hacer parecer natural y lógico lo que antes fue paradójico y chocante, es como trataré el comentario de las diversas paradojas que surgen al estudiar las dos partes de la Teoría de la Relatividad: la Especial y la General.

Trataré o distinguiré diversos tipos de “sorpresas” que aparecen en el devenir del pensamiento humano. En otro plano están, por ejemplo, las paradojas de la lógica, como la de B. Rusell (sobre “el conjunto de todos los conjuntos”), lo que obligó a formular la lógica matemática de G. Frege; o las limitaciones impuestas por el teorema de K. Gödel.

Pero vamos a referirnos aquí a situaciones en las que, a primera vista, la “solución” inmediata a un determinado problema no es la correcta, y aún más a otros casos, en los que parece que hay dos o más soluciones diferentes a un mismo problema, que es lo que realmente entendemos por paradoja. Son éstas las que una buena teoría debe resolver, si es que está construida de un modo libre de contradicciones internas: un análisis detallado debe decidir cuál es la única respuesta que se sigue de la teoría; en algunos casos incluso se podrá hacer alguna predicción experimental.

Paradojas de la relatividad especial

                                                    Hay un límite de velocidad en el vacío espacial

El rasgo distintivo característico de la Teoría de la Relatividad Especial (A. Einstein 1.905) es que existe una velocidad máxima de propagación de los efectos físicos, que se identifica con la velocidad de la luz en el vacío, c. Tres consecuencias inmediatas:

1. El carácter absoluto del tiempo; es decir, la adscripción de un tiempo propio a cada observador.
2. La modificación de la ley de composición de velocidades.
3. El aumento de la masa inercial de un objeto móvil entre dos sucesos de su historia, ahora denominado tiempo propio, aparece como una longitud de su línea de Universo en el espacio-tiempo, que ahora sí depende de la historia, esto es, del movimiento de la partícula entre los dos sucesos extremos, y no sólo de estos dos extremos. Esta longitud está dada por una expresión muy análoga a la que determina la longitud de una curva en la geometría euclidea, con la diferencia esencial de que la métrica en el espacio-tiempo no es definida positiva.

La paradoja de los gemelos

     Es obligado, al hablar de paradojas relativistas, empezar por la famosa paradoja de los gemelos.

Dos hermanos gemelos, Ed y Med, se separan. Ed se queda en la Tierra, cuya desviación respecto de ser un sistema inercial ignoraremos al ser muy pequeña para los efectos que interesan aquí. Med viaja, muy rápido, a una estrella cercana y vuelve. Al encontrarse con Ed, encuentra que éste ha envejecido mucho más que él mismo.

Esta es una predicción de la teoría de la relatividad; se trata de una situación sorprendente, pero que se explica naturalmente por la geometría minkowskiana del espacio-tiempo, una de cuyas consecuencias es aquí permanente: la dilatación del tiempo.

Uno de los gemelos, Ed, se mueve sin aceleración. Desde el punto de vista de Ed, Med se mueve con una velocidad que en un modelo realista deberá ser variable (debe acelerar, pasando de 0 a un valor de crucero v; al llegar a la estrella debe decelerar, detenerse, arrancar de nuevo para el viaje de regreso y frenar finalmente al llegar a su destino). La relatividad establece una relación entre el intervalo de tiempo propio Δt_E medido por Ed entre dos sucesos S₁ y S₂ muy cercanos en su línea de Universo, y el tiempo propio Δt_M de Med entre dos sucesos sobre la línea de Universo de Med, que Ed considera simultáneos con S₁ y S₂, que depende sólo de la velocidad instantánea de Med, y es .

En la idealización usual se hace que los tres intervalos de aceleración y deceleración tengan una duración propia muy pequeña (a costa de que las aceleraciones sean grandes). Así, Med acelera muy rápidamente hasta cierta velocidad v, que mantiene hasta la mitad del viaje. Allí hay un transitorio en el que necesariamente tiene que frenar, acelerar en la dirección opuesta hasta conseguir la velocidad -v con la que regresa, y frenar finalmente para juntarse con Ed.

Para explicar todo esto tendríamos que exponer aquí una serie de ecuaciones que lo complicaría todo para el lector medio, así que me limitaré a decir que el tiempo propio total registrado por Med para su viaje es t_M = t_M- + t_M+ = 2t_M- = , que es menor que el de Ed en el factor ; efectivamente, Med encontrará a Ed más viejo.

Toda esta palabrería nos lleva a resumir, prescindiendo de explicaciones técnicas y matemáticas, que el tiempo transcurre de manera distinta en función de la velocidad a la que viajemos, y si lo hacemos a la velocidad de la luz en el vacío, c, nuestro tiempo pasará mucho más lento.

La fórmula básica de relación entre tiempos propios conduce, entre otras, a una predicción asombrosa: si Med pudiera mantener una velocidad constante igual a c, el tiempo propio medido por él se anularía. Pero esto no es posible; acelerar un cuerpo ordinario hasta la velocidad c requeriría una energía infinita. Por el contrario, para los fotones, que siempre viajan a la velocidad de la luz, el tiempo propio no transcurre. Y la fórmula captura también otra propiedad básica: entre dos sucesos dados, la historia que los incluye y que no tiene aceleración (que sería el movimiento natural, geodésico entre ambos sucesos) resulta tener el tiempo propio máximo.

El efecto de la dilatación del tiempo se ha comprobado experimentalmente muchas veces. La primera confirmación se obtuvo de la presencia, al nivel del mar, de muones (originados en la alta atmósfera a unos 20 Km por los rayos cósmicos) cuya vida media en reposo es del orden de dos microsegundos. Si no hubiese dilatación temporal, incluso viajando a la velocidad de la luz la distancia máxima que podrían recorrer sería del orden de 600 m, lo que haría que prácticamente ninguno llegase “vivo” al nivel del mar. Pero sus dos microsegundos de vida media están dilatados en el tiempo en un factor de  desde el punto de vista de la Tierra, dándoles la oportunidad de, a las velocidades a las que viajan, recorrer 20 Km. Así mismo, las adaptaciones de los sincrotones (un tipo de acelerador de partículas) a la masa variable es otro ejemplo de comprobación “tecnológica” de las peculiaridades de la relatividad especial; el muón aumenta diez veces su masa cuando a velocidades relativistas es lanzado por los aceleradores de partículas.

Incluso hay comprobaciones experimentales directas de la diferencia entre los tiempos propios experimentados por relojes atómicos que se separan, siguen historias diferentes (uno viaja rápido y el otro se mantiene en reposo) y vuelven a reunirse. La más conocida es la de Hafele y Keating (1.972): se dispuso de relojes con precisión relativa del orden de 10^-13. Se comparó el registro de tiempo entre el reloj mantenido en el aeropuerto y otro circuvalando en avión la Tierra en vuelo hacia el este, y un tercero circuvalando hacia el oeste. La corrección de la relatividad especial afecta a los tres relojes, ya que la velocidad pertinente es la relativa a un sistema inercial, siendo el vuelo hacia el E el que tiene una velocidad menor. Para un avión volando a 1.000 Km/h a 10 Km de altura, esta corrección de la relatividad especial resulta del mismo orden de magnitud 10^-12 que la gravitatoria, a la que me referiré más tarde, y el experimento produjo unas diferencias absolutas de t_O – t_A y t_E – t_A (t_A es el tiempo propio del reloj del aeropuerto), de 273 ± 7 ns (oeste) y -59 ± 10 ns (este), a comparar con la previsión teórica, 251 ± 21 ns y -40 ± 23 ns respectivamente.

La bibliografía sobre esta paradoja es inmensa y algunas muy recientes que son muy sugerentes al discutir la paradoja en otras topologías. De las paradojas de este tipo recuerdo la de la pértiga y el granero, y también el experimento del tren y el andén (al que me he referido en trabajos anteriores). También están las paradojas de las dos naves espaciales, conocida como la paradoja de Bell. Otro ejemplo sería el acoplamiento spin-órbita que, más que una paradoja es un efecto peculiar de las transformaciones de Lorentz de gran importancia en la física atómica.

De manera que la transformación de Einstein, que es la transformación de Lorentz queda como

Podría dejarlo aquí, pero vamos a complicarlo un poco. Introducimos una nueva coordenada espacial a partir de ct, el producto de una velocidad por el tiempo es el espacio y utilizamos la siguiente notación:

Paradojas de la relatividad general

Para la relatividad general hay que tener siempre presentes los dos bien conocidos textos clásicos como los de Mister, Thorne y Wheeler Gravitation, y de Weinberg Gravitation and Cosmology.

Un nuevo experimento desarrollado en el Instituto Max Planck de Alemania ha confirmado con una precisión sin precedentes el fenómeno de la dilatación del tiempo. Usando una tecnología procedente de la óptica cuántica, por la que uno de los artífices del experimento obtuvo el Nobel de Física en 2005, obtuvieron una comprobación de las predicciones de la relatividad especial, en lo que concierne al factor de la dilatación relativista del tiempo, con una precisión 10 veces superior que las obtenidas con el sistema GPS, lo que puede mejorar las aplicaciones de seguimiento por satélite, entre otras posibilidades.

Consideremos dos relojes ideales idénticos, uno en el polo y otro en el ecuador, ambos al nivel del mar. Relativamente a un sistema inercial determinado (en primera aproximación) por el centro de la Tierra, el reloj del ecuador rota y recorre 40.000 Km en 24 horas, mientras que el del polo no. La teoría de la relatividad especial predice que, relativamente al polo, el reloj en el ecuador atrasa por un factor relativo ≈ 1’4 × 10^-12. Esta predicción figura en el artículo de 1.905 de Einstein, quien indica también su extremada pequeñez que la pone fuera de las posibilidades experimentales de comprobación en aquel momento.

Pero el principio de equivalencia (1.907) introduce un nuevo ingrediente, que resulta ser imprescindible: dos relojes idénticos en reposo, en dos lugares con diferente potencial gravitatorio, exhiben también una diferencia en su ritmo, que está dada por un factor relativo de +ΔΦ/c², donde Φ es el potencial gravitatorio newtoniano. Resulta que el potencial gravitatorio de la Tierra en el polo y en el ecuador, Φ_P y Φ_E respectivamente, son diferentes, ya que la Tierra no es una esfera perfecta, sino que está achatada por los polos; su superficie la suponemos determinada por la condición de equilibrio hidrostático de un fluido en rotación). Así, si tomamos en cuenta los dos efectos, el de la velocidad y el gravitatorio, el factor relativo total por el que difieren los ritmos entre el reloj en el ecuador y el reloj en el polo es simplemente la suma de las dos contribuciones (ya que (1 + x)(1 + y) ≈ 1 + x + y si x,y « 1).

Si se realiza el cálculo usando Φ = -GM/r y los valores r_E y r_P de los radios ecuatorial y polar de la Tierra, se encuentra la aparente sorpresa de que la contribución gravitatoria cancela exactamente a la de la relatividad especial: los dos relojes van exactamente al mismo ritmo. Por supuesto, no es una coincidencia.

La condición que determina la superficie del nivel del mar es la de ser una superficie equipotencial de un potencial equivalente a Φ – V²/2 que incluye el “pseudopotencial centrífugo”, donde V es la velocidad lineal con la que rota un punto dado de la superficie terrestre; esta condición determina el abultamiento ecuatorial de la superficie del mar. A nivel del mar, el potencial equivalente tiene el mismo valor en el polo Φ_P y en el ecuador Φ_E – V²_E/2, lo que explica la cancelación exacta encontrada antes.

Así que, el resultado neto es: los dos relojes marcan el mismo ritmo. Este efecto, que resulta directamente del principio de equivalencia, aparece automáticamente incorporado, al igual que el efecto de velocidad debido a la relatividad especial, en la teoría de Einstein de la gravitación, usando la métrica de Schwarzschild (o de Kerr). Einstein nunca corrigió su primer cálculo, ni siquiera cuando recopió el trabajo de 1.905 para una subasta.

Los físicos le llaman bella a una ecuación que, con pocos signos, nos digan muchas cosas y, desde luego, esta de Einstein… ¡Es una maravilla!

emilio silvera

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