Recordemos a Einstein y las cosas que decía »

René Descartes, filósofo, matemático y físico  francés, considerado el padre de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica. El método científico ( del latín scientia = conocimiento; camino hacia el conocimiento) es un método de investigación usado principalmente en la producción de conocimiento en las ciencias. Para ser llamado científico, un método de investigación debe basarse en la empírica y en la medición, sujeto a los principios específicos de las pruebas de razonamiento.  El método científico es: «un método o procedimiento que ha caracterizado a la ciencia natural desde el siglo XVII, que consiste en la observación sistemática, medición, experimentación, la formulación, análisis y modificación de las hipótesis»

“Permite calcular los números primos por debajo de un número dado. Por ejemplo, la ecuación de Riemann revela que hay 24 números primos entre 1 y 100. ¿Son los números primos los átomos de la aritmética? ¿Son los números más básicos e importantes en el corazón del mundo de la matemática? Pero sorprendentemente, a pesar de más de 2000 años de investigación, todavía no los entendemos”.

Ecuación de Euler-Lagrange

Esta ecuación se utiliza para analizar todo, desde la forma de una burbuja de jabón a la trayectoria de un cohete alrededor de un agujero negro. Con esta ecuación se puede analizar prácticamente todo. “Más que una ecuación, es una receta para generar una infinita variedad de posibles leyes de física”, comentó un gran matemático de una Universidad londinense. “A pesar de sus múltiples aplicaciones, la ecuación es “engañosamente corta y simple”, agregó otro.”

La belleza matemática se encuentra en la identidad de Euler, fórmula que hoy que el premio nobel de física Richard Feynman calificó como «la fórmula más notable de la matemática». ¿Pero qué es lo que hace tan destacable esta fórmula? Es bella por su extraordinaria sencillez y porque resulta ideal para aprender matemáticas, pues se podría decir que estas aparecen resumidas en la fórmula casi por completo.

El autor de la ecuación matemática más famosa es Leonhard Euler, de ahí que lleve su nombre: la identidad de Euler, llamada «identidad» porque en ella solo existen números. Aunque en la fórmula veamos letras, estas representan en realidad números. Pero no se trata de números cualesquiera, sino de los más famosos de las matemáticas: el número pi, el número e (precisamente así llamado también por Euler), el número i, la unidad y el cero. En esta identidad encontramos también los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad y los cinco números fundamentales.

El número pi, es la relación constante entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana. Esta identidad es considerada una belleza matemática por vincular distintas áreas de esa ciencia formal que parecen distintas y sin relación alguna a simple vista.

“El número áureo (también llamado número de oro​) es un número irracional,​ representado por la letra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988….”

 

Él la resumía en una ecuación, que de hecho es el sumario de diez ecuaciones. Estas fórmulas cambiaron completamente cómo entendemos la naturaleza y evolución del Universo. Este nuevo punto de vista es que la idea de espacio-tiempo, el tejido básico de la realidad, es maleable.

La relatividad general ofreció una nueva visión de cómo funciona la gravedad. En vez de objetos masivos ejerciendo una atracción en otros objetos, estos distorsionan el espacio y tiempo alrededor de ellos. La ecuación de Einstein nos puede decir cómo nuestro universo ha cambiado con el tiempo, y ofrece un vistazo de los primeros momentos de la creación.

 

 

El Universo es grande, para nosotros… ¡casi infinito! Está lleno de mundos, unos tendrán presente la vida y otros no pero, el que la tenga, creo que, como en la Tierra, estará basada en el Carbono que es, el elemento más idóneo para hacerla posible y, aunque no podamos negar cualquier otra posibilidad, esa es, amigos míos, la que lleva la mayor ventaja.

 

 

Con algunas características singulares de cada raza o especie, lo más probable es que sean similares a nosotros, y, no podemos descartas especies raras aquí desconocidas de formas de vida, las condiciones del planeta determinaran algunas características como la altura, el peso…

 

Uno de los supuestos implícitos en pro de la inevitabilidad de un Universo grande y frío es que cualquier vida es muy parecida a la nuestra. Los biólogos parecen admitir sin problemas la posibilidad de otras formas de vida, pero no están seguros de que sea probable que se desarrollen espontáneamente, sin un empujón de formas de vida basadas en el Carbono. La mayoría de las estimaciones de la probabilidad de que haya inteligencia extraterrestre en el Universo se centran en formas de vida similares a nosotros que habiten en planetas y necesiten agua, atmósferas gaseosas y todo lo demás. Merece la pena abrir un poco nuestra imaginación para pensar a qué podría parecerse la vida si radicara en el espacio en lugar de radicar en un planeta. Las formas de vida diferentes a la nuestra y con otros metabolismos están también aquí con nosotros y pertenecen a minúsculos seres que, son necesarios en el ecosistema terrestre para que el conjunto funcione en una simbiosis general y efectiva.

 

 Sí, es posible que la vida sea igual en todas partes

                             Charles Lyell (1797-1875)

 

“El libro de Lyell convirtió el viaje de Darwin en un viaje a través del tiempo. Darwin empezó a leerlo casi inmediatamente, en su litera, mientras sufría el primero de los muchos mareos que le atormentarían durante los cinco años siguientes. El Beagle, un bergantín sólido y macizo, de 28 metros de largo por 7,5 de ancho, era en general confortable, pero su casco era redondeado y se balanceaba mucho. Darwin empezó a aplicar lo que él llamaba “la maravillosa superioridad de la manera de Lyell de abordar la geología” tan pronto como la expedición tocó tierra en las islas de Cabo Verde.”

 

 

Todos sabemos que la materia en nuestro Universo adopta muchas formas distintas: Galaxias de estrellas y mundos que, en alguna ocasión, pueden incluso tener seres vivos y algunos han podido evolucionar hasta adquirir la consciencia. Sin embargo, no me quería referir a eso que es bien sabido por todos, sino que, trato de pararme un poco sobre una curiosa propiedad que la materia tiene en algunas ocasiones y que, la Naturaleza se empeña en repetir una y otra vez: ¡La Simetría!

Las Galaxias espirales, la redondez de los mundos, las estrellas del cielo, los árboles y las montañas, los ríos y los océanos, las especies animales (incluida la nuestra) que, se repiten una y otra vez y, en general, salvando particularidades, todas repiten un patrón de simetría.

Es una maravilla que todo esto exista en nuestro mundo. Y, lo curioso del caso es que, cuando decimos mundo pensamos en algo muy grande ¡Es un Mundo! Sin embargo, si nos detenemos a pensar, podremos comprobar con asombro que, ese mundo “inmenso”, es sólo una mota de polvo en el contexto de la Galaxia, lo que nos lleva a recapacitar sobre lo grande y lo pequeño, ya que, todo es relativo y, al ver que en nuestro minúsculo mundo existen tantas cosas y suceden también infinidad de sucesos.

                        Recuerdo aquí aquel pensamiento de Paul Valery en el que nos decía:

Paul Valery

“El Universo está construido según un plan cuya profunda simetría está presente de algún modo en la estructura interna de nuestro intelecto.”

 

 

                                                    La Naturaleza está llena de simetrías

La simetría es una propiedad universal tanto en la vida corriente, como desde un punto de vista matemático desde el quehacer de la Física Teórica. En realidad, lo que observamos en la vida corriente es siempre lo repetitivo, lo simétrico, lo que se puede relacionar entre sí por tener algo común. Es siempre lo mismo dentro de una inmensa diversidad formada por grupos iguales.

En un sentido dinámico, la simetría podemos entenderla como lo que se repite, lo reiterativo, lo que tiende a ser igual. Es decir, los objetos que, por mantener la misma geometría, son representativos de otros objetos. En el Caos matemático encontramos concepción de la simetría en el mundo los fractales. Sin embargo, la simetría es mucho más. Hay distintas maneras de expresarla: “Conjunto de invariancias de un sistema”, podría ser una de ellas. Al aplicar una transformación de simetría sobre un sistema, el sistema queda inalterado, la simetría es estudiada matemáticamente usando teoría de grupos. Algunas de las simetrías son directamente físicas. Algunos ejemplos son las reflexiones y las rotaciones en las moléculas y las translaciones en las redes cristalinas.

                   Aquí hay mucho más de lo que a simple vista parece

La sucesión de Fibonacci, la fórmula matemática que explica la Naturaleza. Los hindúes ya conocían su existencia y su relación con el mundo.

La suma de los dos números anteriores dará el siguiente

 “El universo entero se puede explicar con las matemáticas”. Es cierto que los números están presentes en nuestro día a día, pero ver la Naturaleza a través de ellos resulta complicado. Sin embargo, el ejemplo más claro para entender esta afirmación es la sucesión de Fibonacci. Esta ecuación, muy sencilla en esencia, ha sido capaz de traspasar el firmamento y llegar al universo.

Los físicos teóricos también se guían en sus investigaciones por motivaciones estéticas tanto como racionales. Poincaré escribió: “Para hacer ciencia, es necesario algo más que la pura lógica”. Él identificó ese elemento adicional como la intuición, que supone “el sentido de la belleza matemática”. Heisenberg hablaba de “la simplicidad y belleza de los esquemas matemáticos que la Naturaleza nos presenta”.

                                                                      Einstein y Poincaré

La simetría está presente por todas partes y, cada objeto, tiene la suya que siempre, está relacionada con la de otro de la misma especie. Hay simetrías que en física incluye todos los rasgos de un sistema físico que exhibe propiedades de la simetría – eso es, que bajo ciertas transformaciones, aspectos de esos sistemas son “incambiables”, de acuerdo a una observación particular. Una simetría de un sistema físico es un rasgo físico o matemático de un sistema que es preservado sobre cierto cambio.

En matemática,  una transformación es un operador aplicado a una función tal que bajo esa transformación, ciertas operaciones sean simplificadas. En ejemplo, en la aritmética cuando se busca un algoritmo de números, el proceso de búsqueda es reducido a la suma de los algoritmos de cada factor.

Por ejemplo, veamos la invariancia de escala: En un recipiente con agua a punto de hervor, las burbujas de vapor, nucleadas en el fondo del recipiente, crecen, se liberan, y fluctúan  hasta la superficie de donde se escapan para la atmósfera. A la temperatura de ebullición, el agua existe al mismo tiempo en dos fases distintas – líquido y gas – y a medida que las burbujas se forman las dos fases se separan en el espacio. Si cerramos el recipiente la temperatura de ebullición aumenta, como en una olla a presión. A medida que la presión aumenta, el sistema llega al punto crítico, donde las propiedades del líquido y del gas se vuelven idénticas. Por encima de esa temperatura, en el régimen supercrítico, dejan de existir dos fases distintas y existe apenas un fluido homogéneo.

Cerca del punto crítico, la materia fluctúa sin límites. Burbujas y gotas, unas tan pequeñas como unos cuantos átomos, otras tan grandes como el recipiente, aparecen y desaparecen, se unen y se separan. Exactamente en el punto crítico la escala de las mayores fluctuaciones divergen, pero el efecto de las fluctuaciones en escalas menores no es despreciable. La distribución de las fluctuaciones es invariable para transformaciones de escala.

De la figura se deduce que la teoría tiene una “simetría interna”: la figura no cambia cuando hacemos rotaciones en el plano definido por A y B. La invariancia es definida matemáticamente por transformaciones que dejan magnitudes sin cambio. Por ejemplo, la distancia entre dos puntos de un sólido que se mueve, pero no se deforma.

Simetrías locales y globales

Una simetría global es una simetría que sostiene todos los puntos en el tiempo-espacio bajo consideración, a diferencia de la simetría local que solo sostiene a un subconjunto de puntos.

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En física, un lagrangiano es una función matemática a partir del cual se pueden derivar la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema físico, que son invariantes bajo ciertas transformaciones, cuando las transformaciones son realizadas en diferentes puntos del espacio-tiempo y están relacionadas linealmente – ellas tienen simetría global.

Por ejemplo, en toda teoría cuántica la fase global de una función de onda es arbitraria y no representa algo físico. Consecuentemente, la teoría es invariante bajo a cambio global de fases (Agregando una constante a la fase de todas las funciones de onda, en todos lados); esto es una simetría global. En la electrodinámica quántica, la teoría es también invariante bajo un cambio local de fase, es decir, que se puede alterar la fase de todas las funciones de onda tal que la alteración sea diferente en cada punto del espacio-tiempo. Esto es una simetría local.

También se habla de ruptura de simetrías temporales en la física de partículas.

Los físicos creen también que están en el camino correcto porque, de algún modo que no pueden explicar, tienen la convicción de que son correctas, y las ideas de simetría son esenciales para esa intuición. Se presiente que es correcto que ningún lugar del Universo es especial comparado con cualquier otro lugar del Universo, así que los físicos tienen la confianza de que la simetría de traslación debería estar las simetrías de las leyes de la Naturaleza. Se presiente que es correcto que ningún movimiento a velocidad constante es especial comparado con cualquier otro. De modo que los físicos tienen confianza en que la relatividad especial, al abrazar plenamente la simetría entre todos los observadores con velocidad constante, es una parte esencial de las leyes de la Naturaleza.

Se dice que esta ecuación de Euler es la más bella conocida. Aunque son muchas las ecuaciones que podríamos traer aquí y que son de todos conocidas y han quedado como símbolos en la historia de las matemáticas, la de Euler, es posible que por su elegancia y simplicidad, le pueda ganar a las demás en belleza. Ahí, en ese sencillo conjunto, los números más significativos de las matemáticas se abrazan: o, 1, e, π, y la unidad imaginaria i .

Si se fijan en la fórmula, en ella aparecen los 5 números más importantes en la historia de las matemáticas. El 0 y el 1 que, entre otras aportaciones a esta disciplina, son famosos por ser elementos neutros y, por lo tanto, indispensables en las operaciones de suma y producto; los números π y e, posiblemente, los dos irracionales más famosos (junto con φ, la razón aúrea) que existen (y que nos permiten hacer el chiste aquel de que la parte más irracional de nuestro cuerpo es el pi-e); y la unidad imaginaria, i, cuyo valor es

Dirac nos hablaba de ecuaciones bellas. La estética es, evidentemente, subjetiva, y la afirmación de que los físicos buscan la belleza en sus teorías tiene sentido sólo si podemos definir la belleza. Afortunadamente, esto se puede , en cierta medida, pues la estética científica está iluminada por el sol central de la simetría.

                                                                        Pensamientos asombrosos

                                         Las simetrías nos la muestran por todas partes

La simetría es un concepto venerable y en modo alguno inescrutable y no podemos negar que tiene muchas implicaciones en la Ciencia, en las Artes y sobre todo, ¡en la Naturaleza! que de manera constante nos habla de ella. Miremos donde miremos…¡allí está!

El físico chino-norteamericano Chen Ning Yang ganó el Nóbel de Física por su en el desarrollo de una teoría de campos basada en la simetría y, aún afirmaba: “No comprendemos todavía el alcance del concepto de simetría”. Es lógico pensar que, si la Naturaleza emplea la simetría en sus obras, la razón debe estar implicada con la eficacia de los sistemas simétricos.

En griego, la palabra simetría significa “la misma medida” (syn significa “juntos”, como en sinfonía, una unión de sonidos, y metrón, “medición”); así su etimología nos informa que la simetría supone la repetición de una cantidad medible. Pero la simetría los griegos, también significaba la “la debida proporción”, lo que implicaba que la repetición involucrada debía ser armoniosa y placentera, como de hecho, resultan ser en las imágenes que arriba contemplamos. Asi, la Naturaleza nos está indicando que una relación simétrica debe ser juzgada por un criterio estético superior.

Muchos de nosotros, la mayoría, conocimos la simetría en sus manifestaciones geométricas de aquellas primeras clases en la Escuela Elemental, más tarde en el arte y, finalmente, la pudimos percibir en la Naturaleza, en el Universo y en nosotros mismos que, de alguna manera, somos de ese Universo de simetría.

Los planetas son esféricos y, por ejemplo, tienen simetría de rotación. Lo que quiere indicar es que poseen una característica -en caso, su perfil circular- que permanece invariante en la transformación producida cuando la Natuiraleza los hace rotar. Las esferas pueden Hacerse rotar en cualquier eje y en cualquier grado sin que cambie su perfil, lo cual hace que sea más simétrica.

La clave de la belleza está en la simetría

La simetría por rotación se encuentra en los pétalos de una flor o en los tentáculos de una medusa: aunque sus cuerpos roten, permanecen iguales. La simetría bilateral que hace que los lados derecho e izquierdo sean iguales y se presenta en casi todos los animales, incluido nosotros. Pero es uniendo estos aspectos se obtienen figuras realmente armoniosas. Si se trata de desplazamiento y rotación en un  mismo plano hablamos de una espiral, mientras que en el espacio sería una hélice, aunque ambas se encuentran por todas partes en la naturaleza.

Las simetrías se generan mediante las fuerzas que actúan sobre los cuerpos, descritas por leyes rigurosas e inequívocas, como una fórmula matemática y dependen de la existencia de fuerzas distintas que actúan en diversas  direcciones. Si éstas permanecen en equilibrio, no hay preferencia alguna hacia arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda, y los cuerpos tenderán a ser perfectamente esféricos, como suele ocurrir en el caso de virus y bacterias, las estrellas y los mundos… las galaxias. Además, cuando el aspecto no es el de una esfera perfecta, la Naturaleza hará todo lo posible para

acercarse a esta.

La simetría también están presentes  en  nuestros cerebros

¿Sería posible que la simetría material tuviera un paralelismo en la abstracción intelectual que son las leyes físicas? luego hace falta un esfuerzo mental considerable para pasar de lo material a lo intelectual, pero cuando se profundiza en ellla, la conexión aparece. En la naturaleza existen muchas cosas que nos pueden llevar a pensar en lo complejo que puede llegar a resultar entender cosas que, a primera vista, parecían sencillas.

Me explico:

Fijémonos, por ejemplo, en una Flor de Girasol y en las matemáticas que sus semillas conllevan. Forman una serie de números en la que cifra es la suma de las dos precedentes (por ejemplo 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…) se denomina, en términos matemáticos, sucesión de Fibonacci, una ley que se cumple incluso en el mundo vegetal, como hemos podido comprobar en las semillas del girasol, dispuestas en espiral y que respetan ésta fórmula. La podemos ver por todas partes.

                     Lo mismo ocurre con otros ejemplares de la diversidad del mundo de las plantas

En el mundo inorgánico las leyes de la cristalización del agua congelada, determinadas por las fuerzas que actúan entre las moléculas, hacen que los cristales adopten formas que son infinitas y varían con respecto a un tema común: la estrella de seis puntas. Sin embargo, los planetas son esféricos porque han nacido en la primordial que rodeaba al Sol, atrayendo materia indiferentemente de todas partes.

Claro que, en la Naturaleza, nada ocurre porque sí, todo tiene su por qué, y, todo lo que en ella podemos contemplar posee una funcionalidad que está directamente relacionada con su mecánica, con el medio en el que habita, con lo que el Universo espera que haga en su medio y, para ello, dota a figura con aquellos “trajes” que mejor les permita realizar aquello para lo que están destinados.

Vamos a generalizar un paso más el concepto de simetría, planteándonos si es posible que una ley física se cumpla en cualquier lugar. ¿En cualquier lugar… de dónde?, ¿de nuestra ciudad?, ¿de nuestro planeta? No: del universo. Una ley que fuera válida en cualquier lugar del universo sería una ley simétrica respecto al espacio. Se cumpliría dondequiera que se hiciese un experimento para comprobarla.

Fíjense que nuestra idea de simetría se va haciendo más compleja y más profunda. no nos detenemos en ver si la forma material de un objeto es simétrica, ni de si la escritura de una fórmula matemática es simétrica. Ahora nos preguntamos si una ley física es válida en todo el Universo.

La otra simetría interesante para una ley física es la que se refiere al tiempo. Cierta ley física se cumple ; ¿antes también?, ¿se cumplirá pasado algún tiempo? Una ley que fuera cierta en cualquier instante de la historia del universo sería una ley simétrica respecto al tiempo.

Lo que nos preguntamos es: ¿son simétricas o no las leyes de la física?

Hasta donde alcanzan nuestras medidas, las leyes físicas (y, por tanto, la interacción gravitatoria) sí son simétricas respecto al espacio y respecto al tiempo. En cualquier lugar y momento temporal del universo, la Naturaleza se comporta igual que aquí y ahora en lo que se refiere a estas leyes.

Esta simetría es un arma muy poderosa para investigar hacia el pasado y hacia el futuro, ya que nos permite suponer (y, en la medida en que confiemos en la seguridad de la simetría,conocer) locales donde jamás podremos llegar por la distancia espacial y temporal que nos separa de muchas partes del universo. Así, por ejemplo, gracias a esta simetría, podemos calcular que el Sol lleva 5.000 millones de años produciendo energía y que le quedan, probablemente, otros 5.000 millones hasta que consuma toda su masa. Esto lo podemos aventurar suponiendo que en ese enorme tramo de 5.000 + 5.000 = 10.000 millones de años las leyes físicas que determinan los procesos mediante los cuales el Sol consume su propia masa como combustible (las reacciones nucleares que le permiten producir energía), fueron, son y serán las mismas aquí en el Brazo de orión donde nos encontramos como en los arrabales de la Galaxia Andrómeda donde luce una estrella como nuestro Sol que, también envía luz y calor a sus planetas circundantes, y, por muy lejos que podamos mirar, siempre veremos lo mismo.

         Por tanto, en cierto modo, la simetría se vuelve tan importante o más que la propia ley física.

La regularidad de las formas de la Naturaleza se refleja incluso en la cultura humana, que desde siempre intenta inspirarse en el mundo natural conformar su propio mundo. Existen hélices en las escaleras de palacios, castillos y minaretes y en las decoraciones de esculturas y columnas. Las espirales abundan en los vasos, en los bajorrelieves, en los cuadros,  en las esculturas en los collares egipcios, griegos, celtas, precolombinos e hindúes e, incluso, en los tatuajes con los que los maoríes neozelandeses se decoran el rostro.

¿Tenía en mente Leonardo la proporción áurea a la hora de realizar su obra maestra? Afirmarlo resultaría aventurado. Menos polémico es aseverar que el genio florentino concedía gran importancia a la relación entre la estética y la matemática. Dejaremos la cuestión en el aire por el momento, no sin antes mencionar que Leonardo realizó las ilustraciones de una obra de contenido estrictamente matemático, escrita por su buen amigo Luca Pacioli, llamada “De divina proportione”, es decir, “La divina proporción”.

 

Fuente de esta imagren y texto: Fernando Corbalán

 

La búsqueda de la perfección geométrica y de las propiedades matemáticas pueden ser una guía importante en el estudio científico del mundo. Paul Dirac, una de los padres de la moderna mecánica cuántica, solía decir que “si una teoría es bella desde el punto de vista matemático, muy probablemente es también verdadera”.

A todo esto, no debemos olvidar que todo, sin excepción, en nuestro Universo, está sometido a la Entropía que nos trae el paso inexorable de eso que llamamos “Tiempo”, y que, convierte perfectas simetrías de joven belleza, en deteriorados objetos o entidades que, nos viene a recordar que nada es perpetuo, que todo pasa y se transforma. Claro que, de alguna manera, todo vuelve a resurgir.

La belleza que atrae, rara vez coincide con la belleza que enamora

Un dolor que llevo dentro de mí es el no poder contemplar la verdadera belleza que  estándo presente en los seres vivos inteligentes, en la mayoría de los casos, se nos queda oculta a nuestra percepción, toda vez que esa clase de belleza, que no podemos ver pero sí percibir, sólo la podemos captar con el trato y la convivencia y, verdaderamente, tengo que admitir que, algunas bellezas que he tenido la suerte de poder “ver con los ojos del espíritu”, llegan a ser segadoras, deslumbrantes, su explendor es muy superior al de la estrella más brillante del cielo, y,  seguramente (estoy seguro) como a muchos de ustedes les pasa, tengo la suerte de tenerla junto a mí desde hace muchos años. y, si pienso en ello en profundidad y detenimiento, no tengo más tremedio que concluir que es ese brillo y esplendor el que me da la fuerza para seguir cada dia en la dura lucha que nos ha participar.

¡Sí que es importante la Belleza! Dirac tenía toda la razón. Y, no digamos las Simetrías que indican con el dedo de la Naturaleza el camino a seguir a muchos físicos que quieren desvelar sus secretos.

emilio silvera