Naturaleza, Simetría, Belleza.

Siempre han llamado nuestra atención esas figuras perfectas, armoniosas y simétricas que, aparecen en la Naturaleza, ante nuestros ojos, y, a pesar de que algunas tienen conformaciones complejas, se repiten con una perfección que causa en nosotros  un cierto asombro no exento de curiosidad. Tanto en el “universo” del microcosmos como en el del macrocosmos, existen estructuras regulares y armoniosas en espiral, esféricas o con forma de hélice que nuestra innata curiosidad nos ha llevado a investigar para llegar a saber que obedecen a precisas reglas matemáticas y biológicas en algunos casos.

                                                   Simetrías por todas partes

Los cuernos de una cabra, la imagen de un ciclón visto desde el espacio, una galaxia o una concha, la chica que arriba nos mira. Son formas que se nos viene a la vista, aspectos de la realidad que llaman poderosamente nuestra atención y nos lleva a preguntar:

¿Por qué se forman y repiten esas figuras una y otra vez, y, en cada caso, una es la “copia exacta” de todas las demás de su género? ¿Es posible que el hombre, al contemplar tales maravillas comenzara a hacer preguntas y diera lugar al nacimiento de la Ciencia? Las matemáticas comenzaron por el asombro que despertaban las formas geométricas  y de la misma manera, nacieron los primeros problemas de la física clásica centrada en las órbitas de los astros y las trayectorias de proyectiles.

La geología estudia la forma de las piedras y volcanes y la biología se ocupa de las formas de los seres vivos y de como ésta ha ido cambiando a lo largo del tiempo. Pero, ¿Cómo explicar los mecanismos que crean el aspecto exterior de la realidad que podemos percibir? ¿Y por qué existen las mismas estructuras tanto en los organismos vivos como en el mundo inanimado?

Observamos la Naturaleza y podemos contemplar formas armoniosas y elegantes, entendiendo que son cuerpos bellos y simétricos en todas sus versiones. Por ejemplo, a mí siempre me llamó la atención la simetría por traslación que se puede encontrar en la disposición de las hojas.

Si nos fijamos y analizamos como se van desarrollando hacia la extremidad de su rama, aparecen con la misma forma inicial. Un asimetría que está presente en los organismos que cuentan con una estructura en la que se repiten segmentos iguales, con los mismos aparatos y los mismos órganos, como el trilobites, fósil del Paleozóico (lombriz y sanguijuela), y algunas plantas.

En cambio la simetría por rotación se encuentra en los pétalos de una flor o en los tentáculos de una medusa: aunque sus cuerpos roten, permanecen iguales. No debemos olvidar la simetría bilateral que hace que los lados derecho e izquierdo sean iguales y se presenta en casi todos los animales, incluido nosotros. Pero es uniendo estos aspectos cuando se obtienen figuras realmente armoniosas. Si se trata de desplazamiento y rotación en un  mismo plano hablamos de una espiral, mientras que en el espacio sería una hélice, aunque ambas se encuentran por todas partes en la naturaleza.

Las simetrías se generan mediante las fuerzas que actúan sobre los cuerpos, descritas por leyes rigurosas e inequívocas, como una fórmula matemática y dependen de la existencia de fuerzas distintas que actúan en diversas  direcciones. Si éstas permanecen en equilibrio, no hay preferencia alguna hacia arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda, y los cuerpos tenderán a ser perfectamente esféricos, como suele ocurrir en el caso de virus y bacterias. Además, cuando el aspecto no es el de una esfera perfecta, la Naturaleza hará todo lo posible para acercarse a esta forma.

                       En todo esto, y, para que así ocurra, tiene que estar presente la Gravedad. Veamos:

Parémonos un momento en la gravitación y generalicemos el concepto de simetría, ampliándolo a las fórmulas matemáticas. Veamos  la fórmula de Newton, pero expresándola con palabras, de esta manera: la fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de dos términos: el primero es la masa de un cuerpo dividido por su distancia al otro. El segundo término es la masa del otro cuerpo dividido por su distancia al primero.

Con símbolos matemáticos escribiríamos:

F(M/d) × (m/d)

Es la misma fórmula de siempre, pero la hemos puesto así para visualizar que la gravitación se puede expresar con una fórmula bastante simétrica: los dos términos de la derecha de la ecuación son “casi” simétricos ¿no es verdad?

¿Has oído sobre el número de oro o proporción áurea? Parece una fórmula mágica para diseñar elementos que parezcan más estéticos. El Número de Oro, también conocido como número áureo o zona áurea (entre otras denominaciones) es una muy interesante relación matemática que se presenta en la naturaleza y que crea interesantes armonías visuales.

Si bien no podemos asegurar que, por ejemplo Da Vinci usó la proporción áurea para pintar la Mona Lisa, basta un búsqueda en Google para darte cuenta de la cantidad de obras que parecen coincidir con esta proporción.

Se trata de una secuencia numérica. Veamos si identificas la relación entre estos números: 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.

¿Encontraste la relación? En esta sucesión, un número es el resultado de la suma de los dos números anteriores. Por ejemplo 3, es el resultado de 1+2; 8 es el resultado de 3+5.

Este concepto más general de simetría es muy profundo, porque nos lleva a pensar que la Naturaleza y las leyes físicas que la describen también obedecen a las leyes de la simetría, igual que la materia, en sus manifestaciones externas, las obedece en muchos casos.”

                      Algunos ven hasta en el surrealismo la simetría

¿Sería posible que la simetría material tuviera un paralelismo en la abstracción intelectual que son las leyes físicas? Desde luego hace falta un esfuerzo mental considerable para pasar de lo material a lo intelectual, pero cuando se profundiza en ella, la conexión aparece.

En la naturaleza existen muchas cosas que nos pueden llevar a pensar en lo complejo que puede llegar a resultar entender cosas que, a primera vista, parecían sencillas. Me explico:

La simetría es una propiedad universal tanto en la vida corriente, desde un punto de vista matemático como desde el quehacer de la Física Teórica. En realidad, lo que observamos en la vida corriente es siempre lo repetitivo, lo simétrico, lo que se puede relacionar entre sí por tener algo común.

En un sentido dinámico, la simetría podemos entenderla como lo que se repite, lo reiterativo, lo que tiende a ser igual. Es decir, los objetos que, por mantener la misma geometría, son representativos de otros objetos. En el Caos matemático encontramos esta concepción de la simetría en el mundo los fractales. Sin embargo, la simetría es mucho más.

                            Distintos ángulos de simetría

Cuando miro en mi diccionario de Física la palabra Simetría, lo que me dice que es: “Conjunto de invariancias de un sistema. Al aplicar una transformación de simetría sobre un sistema, el sistema queda inalterado, la simetría es estudiada matemáticamente usando teoría de grupos. Algunas de las simetrías son directamente físicas. Algunos ejemplos son las reflexiones y las rotaciones en las moléculas y las translaciones en las redes cristalinas. Las simetrías pueden ser discretas (es decir, cuando hay un número finito de transformaciones de simetría), como el conjunto de rotaciones de una molécula octaédrica, o continuas (es decir, cuando no hay número finito), como el conjunto de rotaciones de un átomo o núcleo. Existen simetrías más generales y abstractas, como la invariancia CTP y las simetrías asociadas a las teorías gauge.”

Cuando miro en mi diccionario de Física la palabra Simetría, lo que me dice que es: “Conjunto de invariancias de un sistema. Al aplicar una transformación de simetría sobre un sistema, el sistema queda inalterado, la simetría es estudiada matemáticamente usando teoría de grupos. Algunas de las simetrías son directamente físicas. Algunos ejemplos son las reflexiones y las rotaciones en las moléculas y las translaciones en las redes cristalinas. Las simetrías pueden ser discretas (es decir, cuando hay un número finito de transformaciones de simetría), como el conjunto de rotaciones de una molécula octaédrica, o continuas (es decir, cuando no hay número finito), como el conjunto de rotaciones de un átomo o núcleo. Existen simetrías más generales y abstractas, como la invariancia CTP y las simetrías asociadas a las teorías gauge.”

Las ecuaciones de Maxwell, que describen la electrodinámica clásica, tienen cierta simetría “de gauge” que se manifiesta al escribirlas en términos de los potenciales eléctrico y magnético. En la segunda, destacamos que se puede deducir las eM requiriendo invariancia gauge. Así, descubrir la interacción a partir de la simetría constituye un cambio de paradigma que ha permitido deducir correctamente las leyes físicas para las interacciones débiles y fuertes que – junto a la electrodinámica cuántica- conforman el llamado Modelo Estándar de partículas elementales (ME). Hay argumentos convincentes para pensar que la teoría que generalice el ME a energías mayores también será de gauge, no así para la que unifique el ME con la Gravedad.

La invariancia CPT, que postula que la física es la misma bajo ciertas transformaciones (conjugación de carga, paridad y tiempo), y las simetrías asociadas a las teorías gauge, que permiten describir interacciones fundamentales como el electromagnetismo, son conceptos fundamentales en la Física moderna.

La invariancia CPT postula que las leyes físicas permanecen iguales bajo la combinación de tres transformaciones: conjugación de carga (C), paridad (P) y inversión temporal (T). 

                                     El Universo está lleno de simetrías por todas partes

También podemos hablar de simetría rota y de super-simetrías. Durante los últimos tiempos, los Físicos han elevado los principios de simetría al más alto nivel en la escala de lo que podemos entender por una explicación. Cuando encontramos una Ley propuesta de la Naturaleza, una pregunta se nos viene a la mente: ¿por qué esta ley? ¿Por qué la relatividad especial y la general? ¿Por qué el electromagnetismo de Maxwell? ¿Por qué las teorías de Yang-Mills de las fuerzas nucleares fuerte y débil? Claro que, una respuesta de importancia es que, las teorías hacen predicciones que han sido repetidamente conformadas con precisos experimentos, con diversidad de científicos y lugares y que, siempre, en todos los casos, dieron el mismo resultado. Esto, por supuesto, es la base de la confianza esencial que los físicos tienen en esas teorías.

Las observaciones nos llevan al convencimiento de que en todos los lugares del Universo rigen las mismas leyes, pasan las mismas cosas, y, están presentes todos los objetos y elementos que lo conforman

Claro que, se deja fuera algo esencial: Los físicos creen también que están en el camino correcto porque, de algún modo que no pueden explicar, tienen la convicción de que son correctas, y las ideas de simetría son esenciales para esa intuición. Se presiente que es correcto que ningún lugar del Universo es especial comparado con cualquier otro lugar del Universo, así que los físicos tienen la confianza de que la simetría de traslación debería estar entre las simetrías de las leyes de la Naturaleza. Se presiente que es correcto que ningún movimiento a velocidad constante es especial comparado con cualquier otro. De modo que los físicos tienen confianza en que la relatividad especial, al abrazar plenamente la simetría entre todos los observadores con velocidad constante, es una parte esencial de las leyes de la Naturaleza.

 

Así que las simetrías de la Naturaleza no son meras consecuencias de las leyes de la Naturaleza. Desde nuestra perspectiva moderna, las simetrías son la base de la que manan las leyes y, siendo así (que lo es), cuando un físico observa una simetría, agudiza su atención, ya que, allí, en aquel lugar, podría encontrarse alguna ley de la Naturaleza que siguiendo aquella presencia, se podría descubrir.

Nada lo puede frenar, bueno, la relatividad especial dice lo contrario, si la chica de arriba hubiera viajado a la velocidad de la luz, se mantendría todavía joven. También parece que si nos acercamos mucho a un agujero negro… El Tiempo se frena.

 Nadie ha sabido encontrar todavía definición fundamental y definitiva del Tiempo. Sin embargo, es indudable que el papel del Tiempo en la constitución del Cosmos es llevar una especie de registro de los sucesos y acontecimientos que en el universo ocurren: Nace una estrella, se forma una nueva galaxia, explota una supernova, muere una estrella masiva y surge un agujero negro… Las cosas cambian con su inexorable transcurrir.

Siempre nos gustó jugar con viajar en el Tiempo

Sí, todos fuimos jóvenes y el paso del tiempo nos transformó en más viejos pero, no por ello más sabios. Eso sí, con algo más de experiencia y más prudentes a la hora de decidir sobre las cosas importantes que siempre, aunque de joven no le prestemos atención, trae consecuencias.

Reconocemos el transcurrir del tiempo al mirar y ver que, las cosas, no son iguales hoy que lo fueron ayer. Con el transcurrir del tiempo todo cambia y nada permanece. ¿Será el tiempo otra simetría? Debe serlo, ya que, ningún cambio le afecta y, su transcurrir queda inalterado por mucho camino que pudiera haber recorrido y, eso, lo hace diferente de todo lo demás: Todo cambia excepto el Tiempo.

En lo que se refiere a que el Tiempo se ralentiza si viajamos muy rápidos… ¿No será una simple percepción del viajero que fue mucho más rápido que el mismo Tiempo y tuvo la sensación de que este se frenaba? ¡Qué cosas!

En fin amigos, tenemos que llegar a la conclusión de que, el concepto de simetría es, para los Físicos, indispensable como punto de referencia en el descubrimiento de las teorías que más tarde, llegan a convertirse en leyes de la Naturaleza al comprobarse que, son inalterables: Otra vez la Simetría. El desarrollo de la moderna teoría cosmológica, por ejemplo, tiene mucho que ver con la simetría. El significado del Tiempo, su aplicabilidad al universo en su conjunto, la forma global del espacio, e incluso el marco subyacente de la relatividad especial, todo descansa sobre fundamentos de simetría.

Durante el último siglo un concepto muy importante en Física, sobre todo en Mecánica Cuántica, ha sido y es el de simetría. Uno de los resultados más bonitos de la Física dice que allá donde hay una simetría hay una cantidad conservada. Es lo que se llama teorema de Noether. De este modo, las leyes de la Física pueden ser iguales bajo una u otra simetría y para cada uno de esos casos se conservará algo. Así por ejemplo, la simetría de traslación temporal corresponde a una cantidad conservada: la energía. También ocurre que las leyes de la física son las mismas bajo unas transformaciones de rotación en el espacio tridimensional y eso significa que se conserva el momento angular.

Emmy Noether, la matemática que Einstein calificó como un genio matemático

El teorema de Noether revela que las leyes más poderosas y trascendentales de la física son, de hecho, meros reflejos de una profunda simplicidad oculta bajo la piel de la realidad . Como lo indica el título del excelente libro de Lee Phillips, Noether descubrió su teorema cuando era, en efecto, la «tutora de Einstein».

En física clásica, el teorema de Noether establece que existe una corriente conservada para cada invariancia de la acción clásica bajo una transformación continua, interna o de simetría espaciotemporal de los campos . Este teorema también permite un método iterativo para construir acciones invariantes, denominado método de Noether.

Este es el teorema de Noether, que establece que la conservación de la energía se cumple en un sistema aislado si las leyes de la física no cambian con el tiempo. Este resultado se obtiene bajo un lagrangiano estándar que se aplica en condiciones de convexidad (cuando se cumple el teorema del hiperplano separador y se considera lineal).

 Albert Einstein:  La señorita Noether fue el genio matemático creativo más importante que haya existido desde que comenzó la educación superior para las mujeres”

Entre algunas de sus aportaciones destacan sobre todo dos: el desarrollo del teorema de conservación conocido como Teorema de Noether, así como el trabajo en álgebra abstracta. Concretamente, el primero le sirvió para poner fin a uno de los grandes problemas que presentaba la Teoría de la Relatividad de Einstein.

« Mis métodos son, en realidad, métodos de trabajo y de pensamiento; por eso se han infiltrado en todas partes de forma anónima. »

Emmy Noether Emmy Noether nació el 23 de marzo de 1882 en Erlangen, Alemania, y murió el 14 de abril de 1935 en Bryn Mawr.

Pero sigamos con la simetría, y, Allí donde veamos presente la simetría, debemos prestar atención, ya que, podría ser el indicio de que algo importante se podría derivar de esa simetría presente que, en física, como hemos comentado, es un principio de gran importancia.

Artificial o natural, por todas partes nos asedia la simetría que quiere alcanzar la perfección y la belleza. Desde las galaxias a la vida, nos muestran la simetría.

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