{"id":33650,"date":"2025-02-23T06:38:34","date_gmt":"2025-02-23T05:38:34","guid":{"rendered":"https:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/?p=33650"},"modified":"2025-02-23T06:38:34","modified_gmt":"2025-02-23T05:38:34","slug":"33650","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/2025\/02\/23\/33650\/","title":{"rendered":""},"content":{"rendered":"

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La mec\u00e1nica estad\u00edstica: fundamentos, entrop\u00eda<\/a> de Boltzmann, sistemas micro-can\u00f3nico, can\u00f3nico y macrocan\u00f3nico, fermiones<\/a> y bosones<\/a>, gases ideales y la cat\u00e1strofe ultravioleta.<\/h1>\n<\/blockquote>\n
<\/div>\n
\"Boltzmann\"<\/a><\/p>\n

Con demasiada frecuencia sucede que un sistema (no necesariamente f\u00edsico) depende de demasiadas variables que escapan a nuestro control. No solo de manejarlas sino de medirlas de forma continua. Sin embargo, en much\u00edsimos casos es posible analizar el sistema en su conjunto sin necesidad de saber qu\u00e9 hace cada uno de sus componentes por separado. Ejemplos pr\u00e1cticos de esto ser\u00edan la climatolog\u00eda, las predicciones en bolsa o las tiradas de monedas prolongadas en el tiempo. Sobre la aplicaci\u00f3n de estos conceptos al an\u00e1lisis de personas recomiendo el libro \u00abEl \u00e1tomo social<\/a>\u00ab, sobre el que ya escrib\u00ed en su momento.<\/p>\n

En esta entrada veremos como, fundamentalmente gracias al f\u00edsico Ludwig Boltzmann, a finales del siglo XIX fuimos capaces de relacionar lo microsc\u00f3pico con lo macrosc\u00f3pico y corroborar que las leyes de la naturaleza son coherentes a diferentes escalas.<\/p>\n

Fundamentos de la mec\u00e1nica estad\u00edstica (cu\u00e1ntica):<\/p>\n

Debido a nuestra incapacidad de medici\u00f3n, t\u00edpicamente cuando analizamos una part\u00edcula en un\u00a0estado<\/a>\u00a0\u03c8<\/strong>\u00a0en realidad no se encuentra con rigor un estado concreto dado por las ecuaciones que la rigen, sino en una combinaci\u00f3n de\u00a0\u03a9<\/strong>\u00a0estados\u00a0\u03c8i<\/strong>\u00a0combinados mediante coeficientes\u00a0ck<\/strong>\u00a0en principio\u00a0complejos<\/a>:<\/p>\n

\"Mezcla\"<\/a><\/p>\n

Si los estados son independientes, no deber\u00eda haber cruces entre ellos. Es decir, que el cruce entre dos estados iguales dar\u00eda como resultado 1<\/strong>, y entre dos estados diferentes dar\u00eda como resultado\u00a00<\/strong>:<\/p>\n

\"Ortogonalidad\"<\/a><\/p>\n

Los coeficientes\u00a0ck<\/strong>, por su parte, deben ser tales que la probabilidad neta del estado\u00a0\u03c8<\/strong>\u00a0sea 1:<\/p>\n

\"Normalizaci\u00f3n\"<\/a><\/p>\n

De esta \u00faltima l\u00ednea se deduce que el m\u00f3dulo cuadrado de\u00a0ci<\/strong>\u00a0representa la probabilidad\u00a0Pi<\/strong>\u00a0de que el estado de la part\u00edcula sea el estado\u00a0\u03c8i<\/strong>:<\/p>\n

\"Normalizaci\u00f3n<\/a><\/p>\n

Supongamos ahora que tenemos un observable\u00a0A<\/strong>\u00a0tal que actuando sobre el estado\u00a0\u03c8i<\/strong>\u00a0de lugar al n\u00famero\u00a0Ai<\/strong>:<\/p>\n

\"Autovalor\"<\/a><\/p>\n

Su valor medio ser\u00e1, obviamente:<\/p>\n

\"Media\"<\/a><\/p>\n

Es decir, dado un observable\u00a0A<\/strong>, que en el estado\u00a0\u03c8i<\/strong>\u00a0se manifiesta con valor\u00a0Ai<\/strong>, su valor esperable es la suma de los valores\u00a0Ai<\/strong>\u00a0multiplicados por la probabilidad\u00a0Pi<\/strong>\u00a0de que tenga lugar el estado asociado. Una\u00a0media<\/a>\u00a0de toda la vida.<\/p>\n

As\u00ed pues, si no conocemos exactamente cu\u00e1l es el estado\u00a0\u03c8i<\/strong>\u00a0de una part\u00edcula, pero conocemos la probabilidad de que se de dicho estado, es perfectamente posible analizar los observables del sistema sin necesidad de hacer un estudio detallado de qu\u00e9 est\u00e1 haciendo este en cada instante.<\/p>\n

En este ejemplo hemos dicho que\u00a0\u03c8<\/strong>\u00a0ser\u00eda el estado de una part\u00edcula, pero los mismos conceptos y en los mismos t\u00e9rminos ser\u00edan aplicables a todo un conjunto de part\u00edculas, ya que el concepto de \u00abestado\u00bb es lo suficientemente global.<\/p>\n

Entrop\u00eda de Boltzmann:<\/strong><\/p>\n

\"La<\/p>\n

Para relacionar los conceptos de la\u00a0termodin\u00e1mica<\/a>\u00a0cl\u00e1sica con los de la f\u00edsica de sus constituyentes, Boltzmann plante\u00f3 que la entrop\u00eda<\/a>\u00a0S<\/strong>\u00a0era un medidor del grado de desconocimiento que tenemos de un sistema, defini\u00e9ndola del siguiente modo:<\/p>\n

\"Entrop\u00eda<\/a><\/p>\n

Aqu\u00ed\u00a0k<\/strong>\u00a0es la constante de Boltzmann:<\/p>\n

\"Constante<\/a><\/p>\n

Y, por supuesto, la haremos igual a\u00a01<\/strong>\u00a0para simplificar las cuentas, de forma acorde con la filosof\u00eda del uso de\u00a0unidades naturales<\/a>. Esto implicar\u00e1 que para nosotros la entrop\u00eda<\/a> no tenga unidades, y que la temperatura tenga unidades de energ\u00eda.<\/p>\n

Queda por tanto la entrop\u00eda<\/a> de Boltzmann del siguiente modo:<\/p>\n

\"Entrop\u00eda\"<\/a><\/p>\n

Cabe destacar que siempre ser\u00e1 positiva, dado que las probabilidades son menores que la unidad, y los logaritmos de n\u00fameros menores que\u00a01<\/strong>\u00a0son negativos, con lo que contrarrestan el signo negativo del principio.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 se tra\u00eda Boltzmann entre manos cuanto plante\u00f3 esto? Bien, pues a parte de haber razonado que pasar\u00edan las cosas que expondremos a lo largo de esta entrada, le pareci\u00f3 una buena forma de medir el desorden que la termodin\u00e1mica. El m\u00f3dulo del logaritmo ser\u00e1 tanto m\u00e1s grande cuanto menor sea la probabilidad de que se de un estado, de modo que si en un sistema hay un mont\u00f3n de estados poco probables la entrop\u00eda<\/a> se dispara. Son por tanto directamente m\u00e1s entr\u00f3picos todos los sistemas con mayor n\u00famero de posibles estados. Cuando el n\u00famero de estados es\u00a01<\/strong>, \u00a0la entrop\u00eda<\/a> da\u00a00<\/strong>\u00a0necesariamente.<\/p>\n

Uno podr\u00eda plantearse que aunque el logaritmo aumente la probabilidad que lo multiplica disminuye, pero el logaritmo marca m\u00e1s tendencia, ya que es asint\u00f3ticamente infinito en las proximidades de\u00a00<\/strong>.<\/p>\n

Sistema aislado micro-can\u00f3nico:<\/p>\n

Supongamos que tenemos un sistema aislado, es decir, que no intercambia absolutamente nada con el exterior, en el cual todos sus componentes pueden redistribuirse como quieran.\u00a0Si el n\u00famero de posibles estados totales del sistema es\u00a0\u03a9<\/strong>, entonces podemos definir\u00a0C<\/strong>\u00a0como el logaritmo de dicho n\u00famero:<\/p>\n

\"C<\/a><\/p>\n

En el \u00faltimo paso multiplicamos por la suma de probabilidades, que da siempre\u00a01<\/strong>, por conveniencia.<\/p>\n

Boltzmann impuso que en este sistema la entrop\u00eda<\/a> ser\u00eda igual a dicho logaritmo:<\/p>\n

\"Microc\"<\/a><\/p>\n

Y de aqu\u00ed se despeja, teniendo en cuenta la definici\u00f3n de entrop\u00eda<\/a> de Boltzmann, que solo implica suponer que la probabilidad de que se de un estado cualquiera\u00a0\u03c8i<\/strong>\u00a0es la inversa del n\u00famero de estados posibles. La ley de Bayes b\u00e1sica de la estad\u00edstica.<\/p>\n

\"Probabilidad<\/a><\/p>\n

Resulta obvio que esto es respetuoso con que la suma de todas las probabilidades es 1:<\/p>\n

\"Probabilidades\"<\/a><\/p>\n

As\u00ed que ya tenemos un poco m\u00e1s justificada la ecuaci\u00f3n entr\u00f3pica de Boltzmann. Incluso podemos justificarla al rev\u00e9s: si la probabilidad neta de un sistema es\u00a01<\/strong>, la probabilidad de todos los estados del sistema es la misma, y damos por hecho que la entrop\u00eda<\/a> de un sistema es el logaritmo de su n\u00famero de estados posibles, entonces necesariamente la entrop\u00eda<\/a> de Boltzmann es correcta.<\/p>\n

Por supuesto, hasta aqu\u00ed solo tenemos juego te\u00f3rico. Para convencernos de que esto es acorde con la realidad al 100% hay que avanzar m\u00e1s.<\/p>\n

Sistema cerrado can\u00f3nico:<\/p>\n

La termodin\u00e1mica dice que un sistema cerrado es aquel que intercambia energ\u00eda pero no materia. Esto sabemos que es absurdo desde el momento en que toda la energ\u00eda es portada por part\u00edculas, pero bueno, podemos resumirlo en que se conserva el n\u00famero de part\u00edculas que en un instante dado forman parte del sistema, y estas adem\u00e1s no mutan.<\/p>\n

Supongamos que nuestro sistema cerrado est\u00e1 en contacto con otro mucho m\u00e1s grande, tambi\u00e9n cerrado, con una temperatura\u00a0T<\/strong>. La termodin\u00e1mica nos dice que ambos sistemas acabar\u00e1n teniendo dicha temperatura\u00a0T<\/strong>\u00a0bajo la hip\u00f3tesis de que nuestro sistema apenas afecta al grande, al que llamaremos foco. El foco tiene permiso para variar la energ\u00eda, y la entrop\u00eda<\/a> de nuestro sistema, adem\u00e1s.<\/p>\n

La temperatura es definida cl\u00e1sicamente como la derivada de la energ\u00eda respecto a la entrop\u00eda<\/a>:<\/p>\n

\"Temperatura\"<\/a><\/p>\n

As\u00ed pues, cuando se da el equilibrio t\u00e9rmico y la temperatura es constante, la energ\u00eda y la entrop\u00eda<\/a> se pueden relacionar mediante una ecuaci\u00f3n lineal de la forma:<\/p>\n

\"Energ\u00eda<\/a><\/p>\n

Elegimos definir as\u00ed\u00a0C<\/strong>\u00a0por conveniencia, y por m\u00e1s conveniencia a\u00fan la relacionamos con otra constante\u00a0Z<\/strong>:<\/p>\n

\"C<\/a><\/p>\n

A partir de la ecuaci\u00f3n para la energ\u00eda, se deduce la probabilidad de que se de un estado concreto en el sistema can\u00f3nico seg\u00fan\u00a0Z<\/strong>, la energ\u00eda\u00a0Ei<\/strong>\u00a0del estado y la temperatura\u00a0T<\/strong>:<\/p>\n

\"Probabilidad<\/a><\/p>\n

Un estado es tanto menos probable cuanta m\u00e1s energ\u00eda requiera, pero tambi\u00e9n ser\u00e1 m\u00e1s probable cuanto mayor sea la temperatura del sistema. En particular, a temperatura infinita todos los estados son equiprobables: al sistema le da absolutamente igual cualquier consideraci\u00f3n energ\u00e9tica.<\/p>\n

Imponer que todas las probabilidades sumen\u00a01<\/strong>\u00a0permite conocer exactamente que\u00a0Z<\/strong>\u00a0es la suma de los factores exponenciales de Boltzmann de todos los estados:<\/p>\n

\"Z\"<\/a><\/p>\n

A\u00a0Z<\/strong>\u00a0se la conoce como la\u00a0funci\u00f3n de partici\u00f3n\u00a0(de probabilidad)\u00a0can\u00f3nica, pero como lleva menos tiempo y letras nos referiremos a ella simplemente como\u00a0Z<\/strong>.<\/p>\n

La derivada respecto a la temperatura del logaritmo de\u00a0Z<\/strong>\u00a0permite obtener la energ\u00eda media del sistema:<\/p>\n

\"Energ\u00eda<\/a><\/p>\n

Por otra parte, si en vez del logaritmo a secas, hacemos la derivada de la temperatura por el logaritmo, obtenemos la entrop\u00eda<\/a>:<\/p>\n

\"Entrop\u00eda<\/a><\/p>\n

\u00bfY seg\u00fan la termodin\u00e1mica, qu\u00e9 es aquello que derivado respecto a la temperatura con todo lo dem\u00e1s constante facilita la entrop\u00eda<\/a>? Pues al menos dos cosas: la energ\u00eda libre de Helmholtz\u00a0F<\/strong>\u00a0y la de Gibbs\u00a0G<\/strong>. Centr\u00e9monos ahora en la de Helmholtz:<\/p>\n

\"Helmholtz\"<\/a><\/p>\n

Como predice la teor\u00eda cl\u00e1sica, se cumple:<\/p>\n

\"Derivada<\/a><\/p>\n

Parece que las cosas van encajando, \u00bfno?<\/p>\n

Sistema abierto macro-can\u00f3nico:<\/p>\n

Para concluir la fiesta, dejemos al sistema que intercambie tambi\u00e9n part\u00edculas. \u00bfPor qu\u00e9 no? La termodin\u00e1mica dice que en este caso la derivada de la energ\u00eda respecto al n\u00famero de part\u00edculas facilitar\u00e1 el potencial qu\u00edmico\u00a0\u03bc<\/strong>:<\/p>\n

\"Potencial<\/a><\/p>\n

Y el potencial qu\u00edmico de una part\u00edcula en equilibrio termodin\u00e1mico es constante, con lo que podemos ampliar la energ\u00eda can\u00f3nica para dar lugar a:<\/p>\n

\"Energ\u00eda<\/a><\/p>\n

En esta ocasi\u00f3n, relacionaremos\u00a0C<\/strong>\u00a0con otra constante\u00a0\u039e<\/strong>, a la que pod\u00e9is adivinar que acabaremos llamando funci\u00f3n de partici\u00f3n macro-can\u00f3nica:<\/p>\n

\"E\"<\/a><\/p>\n

Por el procedimiento habitual, obtenemos la probabilidad macro-can\u00f3nica:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Es muy parecida a la can\u00f3nica, salvando el hecho de que a la energ\u00eda disponible para un estado hay que restarle la energ\u00eda qu\u00edmica necesaria para producir las\u00a0ni<\/strong> part\u00edculas que requiere. Resulta obvio por tanto que para un estado macro-can\u00f3nico se cumple siempre:<\/p>\n

\"Energ\u00eda<\/a><\/p>\n

Por otra parte, aplicando el criterio de que las probabilidades sumen\u00a01<\/strong>\u00a0se obtiene\u00a0\u039e<\/strong>:<\/p>\n

\"E<\/a><\/p>\n

Derivando el logaritmo de\u00a0\u039e<\/strong>\u00a0respecto al potencial qu\u00edmico, se obtiene el n\u00famero medio de part\u00edculas del sistema:<\/p>\n

\"Potencial<\/a><\/p>\n

Y teniendo este, se puede derivar respecto a la temperatura para obtener una expresi\u00f3n para la energ\u00eda:<\/p>\n

\"Energ\u00eda<\/a><\/p>\n

La entrop\u00eda<\/a>, por su parte, mantiene la misma expresi\u00f3n que en el caso can\u00f3nico:<\/p>\n

\"Entrop\u00eda<\/a><\/p>\n

Pero en este caso tratamos con el potencial de Gibbs:<\/p>\n

\"Gibbs\"<\/a><\/p>\n

Por \u00faltimo, cabe destacar que hay otras formas m\u00e1s rebuscadas, pero c\u00f3modas seg\u00fan el caso, de expresar la funci\u00f3n de partici\u00f3n macro-can\u00f3nica:<\/p>\n

\"E<\/a><\/p>\n

Aunque ponga iguales, no se deduce cada una de la anterior. Ve\u00e1moslas en detalle:<\/p>\n