{"id":2992,"date":"2009-11-27T08:33:31","date_gmt":"2009-11-27T06:33:31","guid":{"rendered":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/?p=2992"},"modified":"2010-04-20T13:38:38","modified_gmt":"2010-04-20T11:38:38","slug":"recordando-a-boltzmann","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/2009\/11\/27\/recordando-a-boltzmann\/","title":{"rendered":"Recordando a Boltzmann"},"content":{"rendered":"

El trabajo cient\u00edfico desarrollado por Boltzmann en su \u00e9poca cr\u00edtica de transici\u00f3n que puso el colof\u00f3n a la f\u00edsica \u201ccl\u00e1sica\u201d \u2013 cuya culminaci\u00f3n podr\u00edamos situar en Maxwell \u2013 y antecedi\u00f3 (en pocos a\u00f1os) a la \u201cnueva\u201d f\u00edsica, que podemos decir que comenz\u00f3 con Max Planck y Einstein<\/a>. Aunque ciertamente no de la importancia de los dos \u00faltimos, la labor cient\u00edfica de Boltzmann tiene una gran relevancia, tanto por sus aportaciones directas (creador junto con \u201csu amigo\u201d Maxwell y Gibbs de la mec\u00e1nica estad\u00edstica<\/em>, aunque sea el formulismo de \u00e9ste \u00faltimo el que finalmente haya prevalecido; esclarecedor del significado de la entrop\u00eda<\/a>, etc.) como por la considerable influencia que tuvo en ilustres f\u00edsicos posteriores a los que sus trabajos dieron la inspiraci\u00f3n, como es el caso de los dos mencionados, Planck y Einstein<\/a>.<\/p>\n

Boltzmann fue un defensor a ultranza del atomismo, polemizando sobre todo con Mach y Ostwald, antiatomistas partidarios de la energ\u00e9tica y claros exponentes de la corriente idealista de la f\u00edsica alemana. Tuvo que abandonar su ambiciosa idea de explicar exactamente la irreversibilidad en t\u00e9rminos estrictamente mec\u00e1nicos; pero esta \u201cderrota\u201d, no ocultar\u00e9 que dolorosa desde el punto de vista personal, le fue finalmente muy productiva, pues de alguna manera fue lo que le llev\u00f3 al concepto probabilista de la entrop\u00eda<\/a>. Estas primeras ideas de Boltzmann fueron reivindicadas y extendidas, en el contexto de la teor\u00eda de los sistemas din\u00e1micos inestables, sobre todo por la escuela de Prigogine, a partir de la d\u00e9cada de 1970.<\/p>\n

La personalidad de Boltzmann era bastante compleja. Su estado de \u00e1nimo pod\u00eda pasar de un desbordante optimismo al m\u00e1s negro pesimismo en cuesti\u00f3n de unas pocas horas. Era muy inquieto; \u00e9l dec\u00eda \u2013 medio en serio, medio en broma \u2013 que eso se deb\u00eda a haber nacido en las bulliciosas horas finales de los alegres bailes del Martes de Carnaval, previas a los \u201cduelos y quebrantos\u201d (entonces) del Mi\u00e9rcoles de Ceniza.<\/p>\n

Su lamentable final, su suicidio en Duino (Trieste) el 5 de septiembre de 1906, muy probablemente no fue ajeno a esa retorcida personalidad, aunque su precaria salud f\u00edsica fue seguramente determinante a la hora de dar el tr\u00e1gico paso hacia el lado oscuro.<\/p>\n

Uno de los problemas conceptuales m\u00e1s importantes de la f\u00edsica es c\u00f3mo hacer compatible la evoluci\u00f3n irreversible de los sistemas macrosc\u00f3picos (el segundo principio de la termodin\u00e1mica) con la mec\u00e1nica reversible (las ecuaciones de Hamilton o la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger<\/a>) de las part\u00edculas (\u00e1tomos o mol\u00e9culas) que las constituyen. Desde que Boltzmann dedujo su ecuaci\u00f3n en 1872, este problema ha dado lugar a muy amplios debates, y el origen de la irreversibilidad es, a\u00fan hoy en d\u00eda, controvertido.<\/p>\n

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En una de sus primeras publicaciones, Boltzmann obtuvo en 1866 una expresi\u00f3n de la entrop\u00eda<\/a>, que hab\u00eda sido definida un a\u00f1o antes por Clausius, basado en conceptos mec\u00e1nicos. Las limitaciones de este trabajo eran que su aplicaci\u00f3n se restring\u00eda al estudio de los gases y que el sistema era peri\u00f3dico en el tiempo. Adem\u00e1s, Boltzmann no pudo deducir de su definici\u00f3n de entrop\u00eda<\/a> la irreversibilidad del segundo principio de la termodin\u00e1mica de Clausius. En 1868, bas\u00e1ndose en las ideas probabil\u00edsticas de Maxwell, obtuvo la distribuci\u00f3n de equilibrio de un gas de part\u00edculas puntuales bajo la acci\u00f3n de una fuerza que deriva de un potencial (distribuci\u00f3n de Maxwell-Boltzmann).<\/p>\n

En 1872 public\u00f3 la denominada ecuaci\u00f3n de Boltzmann para cuya deducci\u00f3n se bas\u00f3, aparentemente, en ideas mec\u00e1nicas. Esta ecuaci\u00f3n contiene, sin embargo, una hip\u00f3tesis no mec\u00e1nica (estad\u00edstica) o hip\u00f3tesis del caos molecular<\/em>, que Boltzmann no apreci\u00f3 como tal, y cuya mayor consecuencia es que, cualquiera que sea la distribuci\u00f3n inicial de velocidad de un gas homog\u00e9neo diluido fuera del equilibrio, \u00e9sta evoluciona irreversiblemente hacia la distribuci\u00f3n de velocidad de Maxwell. A ra\u00edz de las cr\u00edticas de Loschmidt (paradoja de la reversibilidad) y Zermelo (paradoja de la recurrencia), Boltzmann acab\u00f3 reconociendo el car\u00e1cter estad\u00edstico de su hip\u00f3tesis, y en 1877 propuso una relaci\u00f3n entre la entrop\u00eda<\/a> S<\/em> de un sistema de energ\u00eda constante y el n\u00famero de estados din\u00e1micos W<\/em> accesibles al sistema en su espacio de fases; esto es, la conocida ecuaci\u00f3n S = kB<\/sub> ln W,<\/em> donde kB<\/sub><\/em> es la constante de Boltzmann. En esta nota, se hace una breve descripci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de Boltzmann y de la hip\u00f3tesis del caos molecular.<\/p>\n

La ecuaci\u00f3n de Boltzmann describe la evoluci\u00f3n temporal de un gas diluido de N<\/em> part\u00edculas puntuales de masa m<\/em> contenidas en un volumen V<\/em> que interaccionan a trav\u00e9s de un potencial de par central repulsivo V(r)<\/em> de corto alcance a<\/em>. Como simplificaci\u00f3n adicional, consid\u00e9rese que sobre las part\u00edculas no act\u00faan campos externos. Si f1<\/sub>(r,v,t)<\/em> indica la densidad de part\u00edculas que en el tiempo t<\/em> tienen un vector de posici\u00f3n r<\/em> y velocidad v<\/em>, que est\u00e1 normalizada en forma:<\/p>\n

Su evoluci\u00f3n temporal es la suma de dos contribuciones. En ausencia de interacci\u00f3n, las part\u00edculas que en el tiempo t<\/em> tienen vector de posici\u00f3n r<\/em> y velocidad v<\/em> se encuentran, despu\u00e9s de un intervalo de tiempo \u0394t<\/em>, en r + v \u0394t<\/em> y tiene la misma velocidad. Como<\/p>\n

f1<\/sub>(r + v\u0394t,v,t + \u0394t) = f1<\/sub>(r,v,t)<\/em><\/p>\n

en el l\u00edmite \u0394t \u2192 0<\/em> (2) se escribe:<\/p>\n

\u22021 <\/sub>f1<\/sub>(r,v,t) = \u2013 v\u2202r <\/sub>f1<\/sub>(r,v,t)<\/em><\/p>\n

Que es una ecuaci\u00f3n invariante bajo el cambio t \u2192 \u2013 t<\/em> y v \u2192 \u2013 v<\/em>. La evoluci\u00f3n es, por tanto, mec\u00e1nica.<\/p>\n

Este apunte s\u00f3lo trata de plasma<\/a>r un homenaje a Boltzmann en el centenario de su muerte, y de ninguna manera quiero convertirlo en algo tedioso y lleno de ecuaciones (en las que me adentro sin querer), as\u00ed que, pasemos a la forma din\u00e1mica y m\u00e1s sencilla para el lector de simples explicaciones escritas, evitando las f\u00f3rmulas y ecuaciones en las que m\u00e1s arriba me sumerg\u00ed.<\/p>\n

No pienso que Boltzmann creyera en la existencia real de los \u00e1tomos, pero s\u00ed en su utilidad e incluso en su necesidad para comprender las leyes macrosc\u00f3picas y la evoluci\u00f3n irreversible de los fen\u00f3menos macrosc\u00f3picos desde una base m\u00e1s fundamental que el nivel fenomenol\u00f3gico. Pero hab\u00eda quien (con autoridad) no cre\u00eda ni en la existencia ni en su utilidad. Este debate no era ajeno a las tendencias ideol\u00f3gicas, religiosas y usos sociales de aquella \u00e9poca porque, en general, la ciencia es parte de la cultura y depende del momento hist\u00f3rico que viven los cient\u00edficos, al fin y al cabo, seres humanos como los dem\u00e1s, influenciables por su entorno en una gran medida.<\/p>\n

Por el siglo XIX, e incluso antes, ya se hablaba de \u201c\u00e1tomos\u201d y una rudimentaria teor\u00eda cin\u00e9tica de los gases gozaba de aceptaci\u00f3n y utilidad cient\u00edfica (recordemos los trabajos de Benoulli, Dalton, Laplace, Poisson, Cauchy, Clausius, Kr\u00f6nig\u2026 y Maxwell). Pero fue Boltzmann quien definitivamente profundiz\u00f3 en la cuesti\u00f3n, para el estudio del equilibrio y, sobre todo, intentando explicar mec\u00e1nicamente (mecano-estad\u00edsticamente) la evoluci\u00f3n termodin\u00e1mica irreversible y la descripci\u00f3n de los procesos de transporte ligados a ella. Y, nuevamente (por su enorme importancia) no podemos dejar de mencionar la muy singular labor que hicieron Gibbs, Einstein<\/a>, Planck, Fermi<\/a> y otros. Sin la motivaci\u00f3n ideol\u00f3gica de Boltzmann, Gibbs elabor\u00f3 una bell\u00edsima, \u00fatil y hoy dominante formulaci\u00f3n (cuerpo de doctrina) de la termodin\u00e1mica y f\u00edsica estad\u00edstica.<\/p>\n

Fue Lorentz quien primero utiliz\u00f3 la ecuaci\u00f3n de Boltzmann y lo hizo para describir la corriente el\u00e9ctrica en s\u00f3lidos dando un paso significativo por encima del pionero Drude. Lorentz introdujo un modelo opuesto al browniano donde part\u00edculas ligeras como viento (electrones<\/a>) se mueven chocando entre s\u00ed y con \u00e1rboles gordos (tales como iones en una red cristalina); un modelo del que se han hecho estudios de inter\u00e9s tanto f\u00edsico como matem\u00e1tico. Enskog (inspir\u00e1ndose en Hilbert) y Chapman (inspir\u00e1ndose en Maxwell) ense\u00f1aron c\u00f3mo integrar la ecuaci\u00f3n de Boltzmann, abriendo v\u00edas a otras diversas aplicaciones (hidrodin\u00e1mica, propagaci\u00f3n del sonido, difusi\u00f3n m\u00e1sica, calor, fricci\u00f3n viscosa, termoelectricidad, etc.). Recordemos que Boltzmann encontr\u00f3 como soluci\u00f3n de equilibrio de su ecuaci\u00f3n una distribuci\u00f3n de velocidades antes descubierta por Maxwell (hoy, como rese\u00f1\u00e9 anteriormente, de Maxwell-Boltzmann), por lo que concluy\u00f3 que as\u00ed daba base microsc\u00f3pica mec\u00e1nica (teorema H mecano-estad\u00edstico) al segundo principio de la termodin\u00e1mica (estrictamente, evoluci\u00f3n de un sistema aislado hacia su \u201cdesorden\u201d m\u00e1ximo).<\/p>\n

Est\u00e1 claro que ning\u00fan f\u00edsico que se precie de serlo puede visitar Viena sin visitar el parque Zentralfriedhof para ver la tumba de Boltzmann. Yo no soy m\u00e1s que un f\u00edsico aficionado, y s\u00ed me pas\u00e9 por all\u00ed. Me sent\u00e9 junto a la tumba; el lugar estaba desierto, y cerrando los ojos trat\u00e9 de conectar con la conciencia del genio. La sensaci\u00f3n, extra\u00f1a y agradable, seguramente fue creada por mi imaginaci\u00f3n, pero creo que charl\u00e9 con \u00e9l en el interior de mi mente \u2013la fuerza m\u00e1s potente del universo*<\/a>\u2013 y aquellos sentimientos, aquel momento, compensaron el esfuerzo del viaje.<\/p>\n

En la tumba, sobre una gran l\u00e1pida de m\u00e1rmol de color blanco con los nombres Ludwig Boltzmann y de los familiares enterrados con \u00e9l, sobre el busto de Boltzmann, se puede leer la inscripci\u00f3n, a modo de epitafio:<\/p>\n

S = k log W<\/p>\n

Esta sencilla ecuaci\u00f3n es la mayor aportaci\u00f3n de Boltzmann y una de las ecuaciones m\u00e1s importantes de la f\u00edsica. El significado de las tres letras que aparecen (aparte la notaci\u00f3n del logaritmo) es el siguiente:<\/p>\n