{"id":2316,"date":"2009-07-03T14:04:36","date_gmt":"2009-07-03T12:04:36","guid":{"rendered":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/?p=2316"},"modified":"2009-07-03T14:04:36","modified_gmt":"2009-07-03T12:04:36","slug":"desde-el-tensor-de-riemann-a-la-topologia","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/2009\/07\/03\/desde-el-tensor-de-riemann-a-la-topologia\/","title":{"rendered":"Desde el Tensor de Riemann a la Topolog\u00eda"},"content":{"rendered":"

Riemann cre\u00f3 el tensor m\u00e9trico<\/a><\/span><\/strong> para que, a partir de ese momento, otros dispusieran de una poderosa herramienta que les hac\u00eda posible expresar a partir del famoso teorema de Pit\u00e1goras (uno de los grandes descubrimientos de los griegos en matem\u00e1ticas que establece la relaci\u00f3n entre las longitudes de los tres lados de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo: afirma que la suma de los cuadrados de los lados menores es igual al cuadrado del lado mayor, la hipotenusa; es decir, si a y b son los longitudes de los dos catetos, y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2<\/sup>+b2<\/sup>=c2<\/sup>.\u00a0 El teorema de Pit\u00e1goras, por supuesto, es la base de toda la arquitectura; toda estructura construida en este planeta est\u00e1 basada en \u00e9l.\u00a0 Claro que, es una herramienta para utilizar en un mundo tridimensional.<\/p>\n

El tensor m\u00e9trico<\/a> de Riemann, o N dimensiones, fue mucho m\u00e1s all\u00e1 y podemos decir que es el teorema para dimensiones m\u00e1s altas con el que podemos describir fen\u00f3menos espaciales que no son planos, tales como un remolino causado en el agua o en la atm\u00f3sfera, como por ejemplo tambi\u00e9n la curvatura del espacio en presencia de grandes masas.\u00a0 Precisamente, el tensor de Riemann, permiti\u00f3 a Einstein<\/a> formular su teor\u00eda de la gravedad y, posteriormente lo utilizo Kaluza y Klein para su teor\u00eda en la quinta dimensi\u00f3n de la que a\u00f1os m\u00e1s tarde se derivaron las teor\u00edas de supergravedad, supersimetr\u00eda<\/a> y, finalmente las supercuerdas.<\/p>\n

\"formas-de-universos\"<\/a><\/p>\n

<\/p>\n

Para asombro de Einstein<\/a>, cuando tuvo ante sus ojos la conferencia de Riemann de 1.854, que le hab\u00eda enviado su amigo Marcel Grossman, r\u00e1pidamente se dio cuenta de que all\u00ed estaba la clave para resolver su problema.\u00a0 Descubri\u00f3 que pod\u00eda incorporar todo el cuerpo del trabajo de Riemann en la reformulaci\u00f3n de su principio.\u00a0 Casi l\u00ednea por l\u00ednea, el gran trabajo de Riemann encontraba su verdadero lugar en el principio de Einstein<\/a> de a relatividad<\/a> general.\u00a0 Esta fue la obra m\u00e1s soberbia de Einstein<\/a>, incluso m\u00e1s que su celebrada ecuaci\u00f3n E=mc2<\/sup>.\u00a0 La reinterpretaci\u00f3n f\u00edsica de la famosa conferencia de Riemann se denomina ahora relatividad<\/a> general, y las ecuaciones de campo de Einstein<\/a> se sit\u00faan entre las ideas m\u00e1s profundas de la historia de la ciencia.<\/p>\n

Pero volvamos al trabajo de Riemann.\u00a0 Su prop\u00f3sito era introducir un nuevo objeto en las matem\u00e1ticas que le capacitase para describir todas las superficies, por complicadas que fueran.\u00a0 Esto le condujo inevitablemente a reintroducir el concepto de campo de Faraday.<\/p>\n

El campo de Faraday, record\u00e9moslo, era como un campo de granjero que ocupa una regi\u00f3n de un espacio bidimensional.\u00a0 El campo de Faraday ocupa una regi\u00f3n de un espacio tridimensional; a cualquier punto del espacio le asignamos una colecci\u00f3n de n\u00fameros que describe la fuerza el\u00e9ctrica o magn\u00e9tica en dicho punto.\u00a0 La idea de Riemann consist\u00eda en introducir una colecci\u00f3n de n\u00fameros en cada punto del espacio que descubriera cu\u00e1nto estaba torcido o curvado.<\/p>\n

Por ejemplo, para una superficie bidimensional ordinaria, Riemann introdujo una colecci\u00f3n de tres n\u00fameros en cada punto que describe completamente la curvatura de dicha superficie.\u00a0 Riemann descubri\u00f3 que en cuatro dimensiones espaciales se necesita una colecci\u00f3n de diez n\u00fameros en cada punto del espacio para describir sus propiedades.\u00a0 Por muy retorcido o distorsionado que est\u00e9 el espacio, esta colecci\u00f3n de diez n\u00fameros en cada punto es suficiente para codificar toda la informaci\u00f3n sobre dicho espacio.\u00a0 Hoy, esta colecci\u00f3n de n\u00fameros se denomina el Tensor m\u00e9trico de Riemann<\/span><\/strong>.\u00a0 Hablando crudamente, cuanto mayor es el valor del tensor m\u00e9trico<\/a>, mayor es el arrugamiento de la superficie, digamos de una hoja de papel, y, el tensor m\u00e9trico<\/a> nos da un medio sencillo para medir la curvatura en cada punto.\u00a0 Si alisamos completamente la hoja arrugada, entonces recuperamos la f\u00f3rmula de Pit\u00e1goras.<\/p>\n

El tensor m\u00e9trico<\/a> de Riemann le permiti\u00f3 erigir un potente aparato para describir espacios de cualquier dimensi\u00f3n con curvatura arbitrar\u00eda.\u00a0 Para su sorpresa, encontr\u00f3 que todos estos espacios est\u00e1n bien definidos y son autoconsistentes.\u00a0 Previamente, se pensaba que aparecer\u00edan terribles contradicciones al investigar el mundo prohibido de dimensiones m\u00e1s altas.\u00a0 Riemann no encontr\u00f3 ninguna.\u00a0 De hecho, resultaba casi trivial extender su trabajo a un espacio N-dimensional.\u00a0 El tensor m\u00e9trico<\/a> se parec\u00eda ahora a un tablero de Ajedrez de N x N casillas.<\/p>\n

\"matriz\"<\/p>\n

El tensor de Riemann contiene toda la informaci\u00f3n necesaria para poder describir un espacio curvo en N-dimensiones.\u00a0 Se necesita diecis\u00e9is n\u00fameros para describir el tensor m\u00e9trico<\/a> en un espacio tetradimensional.\u00a0 Estos n\u00fameros pueden disponerse en una matriz cuadrada (seis de dichos n\u00fameros son realmente redundantes; de modo que el tensor m\u00e9trico<\/a> tiene diez n\u00fameros independientes).<\/p>\n

De hecho, en las nuevas teor\u00edas de supercuerdas, planteadas en diez y veintis\u00e9is dimensiones, tendr\u00edamos que hablar del supertensor m\u00e9trico<\/a> de Riemann y de cientos de componentes.<\/p>\n

\"corte-riemann\"<\/p>\n

Un corte de Riemann, con dos hojas conectadas a lo largo de una l\u00ednea.\u00a0 Si caminamos alrededor del corte, permanecemos dentro del mismo espacio.\u00a0 Pero si atravesamos el corte, pasamos de una hoja a la continua.\u00a0 Esta es una superficie m\u00faltiplemente conexa.<\/p>\n

De la lecci\u00f3n de Riemann se deduce que, en espacios multidimensionales se crea el principio de que el espacio m\u00faltiple (de m\u00e1s dimensiones) unifica las leyes de la naturaleza encaj\u00e1ndolas en el tensor m\u00e9trico<\/a> como piezas de un rompecabezas N-dimensional.<\/p>\n

Riemann anticip\u00f3 otro desarrollo de la f\u00edsica; fue uno de los primeros en discutir espacios m\u00faltiples y conexos, o agujeros de gusano<\/a>.<\/p>\n

\"agujero-de-gusano\"<\/p>\n

Topol\u00f3gicamente hablando, el dibujo anterior es equivalente a lo que ser\u00eda un agujero de Gusano con boca de entrada y de salida en regiones que nos llevar\u00edan a otro tiempo (As\u00ed lo asegur\u00f3 en 1.988, el f\u00edsico Kip Thorne, del MIT (Instituto Tecnol\u00f3gico de Massaschusse en California).<\/p>\n

El legado de Riemann (a pesar de su muerte prematura) fue extenso y en general muy valioso.\u00a0 En 1958, anunci\u00f3 incluso que finalmente hab\u00eda logrado una descripci\u00f3n unificada de la luz y la electricidad.\u00a0 Escribi\u00f3: \u201cEstoy completamente convencido de que mi teor\u00eda es la correcta, y de que en pocos a\u00f1os ser\u00e1 reconocida como tal\u201d.\u00a0 Aunque su tensor m\u00e9trico<\/a> le proporcion\u00f3 un medio poderoso de describir cualquier espacio curvo en cualquier dimensi\u00f3n, \u00e9l no conoc\u00eda las ecuaciones exactas a que obedec\u00eda el tensor m\u00e9trico<\/a>; es decir, no sab\u00eda que es lo que hac\u00eda que la hoja se arrugase, eso lo vi\u00f3 seis d\u00e9cadas m\u00e1s tarde Einstein<\/a> que se dio cuenta de que, en presencia de grandes masas, tales como planetas o estrellas \u2013entre otros, el espacio se \u201carruga\u201d o \u201cdistorsiona\u201d, se curva.\u00a0 Sin embargo Einstein<\/a>, sab\u00eda el origen de las arrugas y le faltaba el tensor m\u00e9trico<\/a> que, finalmente, le permiti\u00f3 regalar al mundo su magnifica teor\u00eda.<\/p>\n

El trabajo de Riemann, al utilizar el espacio multidimensional, logr\u00f3 simplificar las leyes de la naturaleza, es decir, par\u00e1 el, la electricidad y el magnetismo y tambi\u00e9n la Gravedad eran simplemente los efectos causados por el arrugamiento o distorsi\u00f3n del hiperespacio.<\/p>\n

Su asombroso trabajo (que no termin\u00f3), fue rematado por dos genios como Maxwell (electricidad y magnetismo) y Einstein<\/a> (Gravedad).<\/p>\n

El mensajero de la cuarta dimensi\u00f3n, un pintoresco matem\u00e1tico ingl\u00e9s llamado Charles Howard Hinton que atraves\u00f3 el Atl\u00e1ntico y la llev\u00f3 a Norteam\u00e9rica.\u00a0 Form\u00f3 bastante ruido a cuenta de la cuarta dimensi\u00f3n y se presentaba como experto en ella, ten\u00eda respuesta para cualquier pregunta.<\/p>\n

Si le preguntaban \u00bfD\u00f3nde est\u00e1 la cuarta dimensi\u00f3n?, su respuesta era invariable: \u201cEst\u00e1 aqu\u00ed, con nosotros, pero es tan peque\u00f1a que no la podemos ver\u201d.<\/p>\n

B\u00e1sicamente, la respuesta de Hinton fue la misma que despu\u00e9s dieron Kaluza y Klein para su quinta dimensi\u00f3n ( la famosa teor\u00eda que un\u00eda el electromagnetismo de Maxwell y la Gravedad de Einstein<\/a> mediante la ocurrencia de elevar la teoria Einsteniana en una dimensi\u00f3n m\u00e1s ) y las que han dado otros f\u00edsicos y matem\u00e1ticos para explicar las teor\u00edas decadimensionales, en todas, cuando naci\u00f3 el tiempo y el espacio, en el Big Bang<\/a>, result\u00f3 que tres dimensiones espaciales y una de tiempo se expandieron con el Universo, las otras dimensiones se quedaron compactados en min\u00fasculos c\u00edrculos en la longitud de Planck<\/a>, es decir una distancia de 10–<\/sup>33<\/sup> cm que se formula mediante Lp<\/sub>=\u221a (G \u0127 \/ c3<\/sup> ), \u00a0donde G, \u00a0es la constante gravitacional de Newton<\/a>, \u0127 es la constante de Planck<\/a> racionalizada, y c es la velocidad de la luz en el vac\u00edo.\u00a0 Esa es una distancia que, hoy por hoy, nuestros aparatos tecnol\u00f3gicos (microsc\u00f3picos electr\u00f3nicos, etc.), no est\u00e1n capacitados para alcanzar.<\/p>\n

Hay asuntos que en f\u00edsica, matem\u00e1ticas o astronom\u00eda, est\u00e1n esperando una respuesta clara,\u00a0 y sobre todo urgente.<\/p>\n

Tenemos pendientes las preguntas sobre lo que encierra el n\u00famero 137, ese n\u00famero puro y Adimensional que se relaciona con e, el electr\u00f3n<\/a> del electromagnetismo, con h, el cuanto de acci\u00f3n de la constante de Planck<\/a>, y con c, la velocidad de la luz de la relatividad<\/a> especial de Einstein<\/a>.\u00a0 Es lo que denominamos constante de estructura fina que es igual a 1\/137 y resulta de los productos de 2\u043be2<\/sup>\/hc, pero \u00bfPor qu\u00e9? El d\u00eda que tengamos la respuesta habremos despejado los misterios encerrados en e, h y c.<\/p>\n

Tambi\u00e9n esperamos respuesta a preguntas pendientes en Geometr\u00eda de los objetos a la que se ha dado en llamar TOPOLOG\u00cdA, es la rama de la matem\u00e1tica que se ocupa del estudio de las propiedades de los objetos que no cambian al deformarlos continuamente: estirarlos, achatarlos o retorcerlos.\u00a0 Siempre sin cortarlos ni pegarlos.\u00a0 Los top\u00f3logos no miran la distancia, puesto que se puede cambiar al deformar el objeto, sino nociones m\u00e1s sutiles.<\/p>\n

emilio silvera<\/em><\/p>\n

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