{"id":2136,"date":"2009-05-18T13:00:37","date_gmt":"2009-05-18T11:00:37","guid":{"rendered":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/?p=2136"},"modified":"2009-05-18T13:00:37","modified_gmt":"2009-05-18T11:00:37","slug":"necesitamos-teorias-mas-avanzadas","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/2009\/05\/18\/necesitamos-teorias-mas-avanzadas\/","title":{"rendered":"Necesitamos teor\u00edas m\u00e1s avanzadas"},"content":{"rendered":"

La gravitaci\u00f3n y dimensiones extra<\/strong><\/p>\n

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“… la l\u00ednea tiene magnitud en una direcci\u00f3n, el plano en dos direcciones y el s\u00f3lido en tres direcciones; a parte de \u00e9stas, no hay ninguna magnitud porque las tres son todas…”<\/p>\n<\/blockquote>\n

Eso nos dijo Arist\u00f3teles alrededor de 350 a\u00f1os antes de Cristo, y la verdad, es que desde la experiencia cotidiana es dif\u00edcil refutarlo. M\u00e1s a\u00fan, la existencia de dimensiones extra podr\u00eda tener consecuencias desastrosas para la estabilidad de las \u00f3rbitas at\u00f3micas y planetarias, sobre todo en el caso de que dichas dimensiones fuesen de un tama\u00f1o comparable al del sistema estudiado. En concreto, Paul Ehrenfest en 1.917 demostr\u00f3 que la ley del inverso del cuadrado de la distancia para la fuerza electrost\u00e1tica o gravitatoria se modificar\u00eda si hubiera N<\/em> dimensiones espacial extra, de forma que F \u2248 r-2 <\/sup>\u03c0<\/em>. De hecho, ning\u00fan experimentado f\u00edsico realizado hasta la fecha ha revelado la existencia de m\u00e1s de tres dimensiones espaciales, y dicho sea de paso, tampoco m\u00e1s de una dimensi\u00f3n temporal.<\/p>\n

Sin embargo, aunque la experiencia ordinaria no necesitase de m\u00e1s de tres m\u00e1s una dimensiones, desde Riemann, Gauss, Ricci y alg\u00fan otro, el punto de vista matem\u00e1tico permite estudiar de forma consistente la geometr\u00eda de espacion de dimensi\u00f3n arbitraria que, como digo, lo debemos en gran parte a Bernhard Riemann sobre variedades n-dimensionales (1.854), y ello a pesar de que Ptolomeo propusiera una “demostraci\u00f3n” de que una cuarta dimensi\u00f3n espacial no tiene magnitud ni definici\u00f3n posibles (Tratado sobre la distancia<\/em>, 150 a. C.).<\/p>\n

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La formulaci\u00f3n de la Relatividad Especial de Einstein<\/a> en 1.905 supuso una revoluci\u00f3n en nuestra concepci\u00f3n del espacio y del tiempo, y plante\u00f3 la cuesti\u00f3n de la dimensionalidad desde una perspectiva completamente nueva. En efecto, en la interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica que llev\u00f3 a cabo Herman Minkowski<\/a> en 1.909, la teor\u00eda de Eintein pod\u00eda entenderse de forma simple en t\u00e9rminos de una variedad espacio-temporal de cuatro dimensiones, en la que a tres dimensiones espaciales se le a\u00f1ad\u00eda en pie de igualdad una cuarta, el tiempo, en la forma itc. El espacio y el tiempo pasaron de entenderse como conceptos independientes a formar un entramado \u00fanico 4-dimensional, en el que las distancias se miden a trav\u00e9s de la m\u00e9trica de Minkowski<\/a>:<\/p>\n

\"metrica_de_minkowski\"<\/p>\n

Por su parte, Einstein<\/a>, lejos de considerar el espacio-tiempo de Minkowski<\/a> como una mera descripci\u00f3n matem\u00e1tica, lo elev\u00f3 a la categor\u00eda de entidad f\u00edsica con su Teor\u00eda General de la Relatividad (RG) de 1.915 al considerarlo como objeto din\u00e1mico, cuya geometr\u00eda, dada por la m\u00e9trica de Riemann g\u03bc\u03c5<\/sub>(x), depende de tener en cuenta en cada punto de su contenido de materia y energ\u00eda. La curvatura del espacio-tiempo determina la trayectoria de las part\u00edculas de prueba que se mueven en \u00e9l, y por tanto, la teor\u00eda proporciona una interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica de la interacci\u00f3n gravitatoria.<\/p>\n

La unificaci\u00f3n del electromagnetismo y la gravitaci\u00f3n, mencionada por m\u00ed en anteriores trabajos, fue la primera de las teor\u00edas con dimensiones extra.<\/p>\n

Est\u00e1 claro que a comienzos del siglo pasado, nuestro conocimiento de las interacciones fundamentales se reduc\u00eda a dos teor\u00edas de campos bien establecidas, el electromagnetismo de Maxwell, en pie desde 1.873, y la novedosa Teor\u00eda General de la Relatividad para la gravitaci\u00f3n, que Einstein<\/a> comenzara a gestar en 1.907 y publicara en 1.915. No es por tanto de extra\u00f1ar que el atractivo de la teor\u00eda de Einstein<\/a> provocara en muchos, incluido el propio Einstein<\/a>, el impulso de buscar una generalizaci\u00f3n de la misma, que incluyera tambi\u00e9n a la teor\u00eda de Maxwell, en una descripci\u00f3n geom\u00e9trica unificada.<\/p>\n

Con ese \u00fanico objetivo, se tomaron varios caminos que, si bien no llegaron al destino deseado, permitieron realizar descubrimientos trascendentales que marcar\u00eda la evoluci\u00f3n de la f\u00edsica te\u00f3rica hasta nuestros d\u00edas.<\/p>\n

El primero de estos caminos fue propuesto por Hermann Weyl en 1.918. En la Relatividad General, el espacio-tiempo se considera como una variedad pseudo-Riemanniana m\u00e9trica, esto es, en la que, aunque la orientaci\u00f3n de un vector transportado paralelamente de un punto a otro depende del camino seguido, su norma es independiente del transporte. Esta independencia de la norma disgustaba a Weyl que propuso reemplazar el tensor m\u00e9trico<\/a> g\u03bc\u03c5<\/sub> por una clase de m\u00e9tricas conformemente equivalentes [g\u03bc\u03c5<\/sub>] (esto es, equivalentes bajo cambios de escala g\u03bc\u03c5<\/sub> \u2192 \u03bb g\u03bc\u03c5<\/sub>), y el transporte paralelo por otro que respetara esa estructura conforme. Esto se consegu\u00eda introduciendo un nuevo campo, A\u03bc<\/sub>, que al cambiar de representante de la clase de equivalencia [g\u03bc\u03c5<\/sub>], se transformaba precisamente como el potencial vector de la teor\u00eda de Maxwell:<\/p>\n

A\u03bc <\/sub>\u2192 A\u03bc <\/sub>+ \u2202\u03bc<\/sub>\u03bb<\/p>\n

Este tipo de transformaci\u00f3n es lo que Weyl denomin\u00f3 trasformaci\u00f3n de “gauge<\/a>”<\/em>, en el sentido de cambio de longitud. En propias palabras de Weyl en una carta dirigida a Einstein<\/a> en 1.918, con su teor\u00eda hab\u00eda conseguido “… derivar la electricidad y la gravitaci\u00f3n de una fuente com\u00fan…<\/em>“. La respuesta de Einstein<\/a> no se hizo esperar:<\/p>\n

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“Aunque su idea es muy elegante, tengo que declarar francamente que, en mi opini\u00f3n, es imposible que la teor\u00eda se corresponda con la naturaleza.”<\/p>\n<\/blockquote>\n

La objeci\u00f3n de Einstein<\/a> se basaba en el hecho de que en la propuesta de Weyl, el ritmo de avance de los relojes tambi\u00e9n depender\u00eda del camino seguido por \u00e9stos, lo cual entrar\u00eda en contradicci\u00f3n, por ejemplo, con la estabilidad de los espectros at\u00f3micos.<\/p>\n

Aunque la teor\u00eda de Weyl fue abandonada r\u00e1pidamente, en ella se introduc\u00eda por primera vez el concepto de simetr\u00eda gauge<\/a>. Varias d\u00e9cadas m\u00e1s tarde, con el desarrollo de las teor\u00edas gauge<\/a> no abelianas por Yang Mills (1.954), y del Modelo Est\u00e1ndar de las part\u00edculas elementales, se comprob\u00f3 que la misma noci\u00f3n de invarianza subyac\u00eda en la descripci\u00f3n del resto de interacciones fundamentales (electrod\u00e9biles y fuertes).<\/p>\n

El segundo camino en la b\u00fasqueda de la unificaci\u00f3n comenz\u00f3 un a\u00f1o antes de la publicaci\u00f3n de la Relatividad General. En 1.914 Gunnar Nordstr\u00f6m propuso una teor\u00eda en cinco dimensiones que unificaba el electromagnetismo con la gravitaci\u00f3n de Newton<\/a>. La aparici\u00f3n de la Teor\u00eda de la Relatividad General hizo olvidar la teor\u00eda de Nordstr\u00f6m, pero no la idea de la unificaci\u00f3n a trav\u00e9s de dimensiones extra.<\/p>\n

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Kaluza<\/span><\/p>\n

As\u00ed estaban las cosas cuando en 1.919 recibi\u00f3 Einstein<\/a> un trabajo de Theodor Kaluza, un privatdozent*<\/a> en la Universidad de K\u00f6nigsberg, en el que extend\u00eda la Relatividad General a cinco dimensiones. Kaluza consideraba un espacio con cuatro dimensiones, m\u00e1s la correspondiente dimensi\u00f3n temporal y supon\u00eda que la m\u00e9trica del espacio-tiempo se pod\u00eda escribir como:<\/p>\n

\"metrica_de_kaluza\"<\/p>\n

Donde\u00a0\"metrica_4-dimensional_del_espacio-tiempo\" con \u03bc,\u03c5<\/em> = 1, 2, 3, 4, corresponde a la m\u00e9trica 4-dimensional del espacio-tiempo de la RG, A\u03bc<\/sub><\/em> proporciona el campo electromagn\u00e9tico, \u03a6 es un campo escalar conocido posteriormente como dilat\u00f3n<\/em>, y\u00a0\u03b1 =\u00a0\u221a(2k)<\/em> es la constante de acoplo relacionada con la constante de Newton<\/a> k<\/em>. Kaluza demostr\u00f3 que las ecuaciones de Einstein<\/a> en cinco dimensiones obtenidas de esta m\u00e9trica y linealizadas por los campos, se reduc\u00edan a las ecuaciones de Einstein<\/a> ordinarias (en cuatro dimensiones) en vac\u00edo, junto con las ecuaciones de Maxwell para A\u03bc<\/sub><\/em>, siempre que se impusiera la condici\u00f3n cil\u00edndrica, esto es, que la m\u00e9trica\u00a0\"metrica_de_kaluza_v2\" no dependiera de la quinta coordenada.<\/p>\n

El trabajo de Kaluza impresion\u00f3 muy positivamente a Einstein<\/a>: “Nunca hab\u00eda ca\u00eddo en la cuenta de lograr una teor\u00eda unificada por medio de un cilindro de cinco dimensiones… A primera vista, su idea me gusta enormemente…<\/em>” (carta de Einstein<\/a> a Kaluza en 1.919, en abril).<\/p>\n

Este hecho resulta sorprendente si consideramos que el trabajo de Nordstr\u00f6m fue publicado cinco a\u00f1os antes. Por motivos desconocidos, en el mes de mayo de 1.919, Einstein<\/a> rebaj\u00f3 su entusiasmo inicial: “Respeto en gran medida la belleza y lo atrevido de su idea, pero comprender\u00e1 que a la vista de las objeciones actuales no pueda tomar parte como originalmente se plane\u00f3<\/em>“. Einstein<\/a> retuvo el trabajo de T. Kaluza durante dos a\u00f1os, hasta que en 1.921 fue presentado por \u00e9l mismo ante la Academia Prusiana. Hasta 1.926 Einstein<\/a> guard\u00f3 silencia acerca de la teor\u00eda en cinco dimensiones.<\/p>\n

\n

Klein<\/span><\/p>\n

Ese mismo a\u00f1o, Oskar Klein publicaba un trabajo sobre la relaci\u00f3n entre la teor\u00eda cu\u00e1ntica y la relatividad<\/a> en cinco dimensiones. Uno de los principales defectos del modelo de Kaluza era la interpretaci\u00f3n f\u00edsica de la quinta dimensi\u00f3n. La condici\u00f3n cil\u00edndrica impuesta ad hoc<\/em> hac\u00eda que ning\u00fan campo dependiera de la dimensi\u00f3n extra, pero no se justificaba de manera alguna.<\/p>\n

Klein propuso que los campos podr\u00edan depender de ella, pero que \u00e9sta tendr\u00eda la topolog\u00eda de un c\u00edrculo con un radio muy peque\u00f1o, lo cual garantizar\u00eda la cuantizaci\u00f3n de la carga el\u00e9ctrica. Su diminuto tama\u00f1o, R5<\/sub> \u2248 8\u00d710-31<\/sup> cm<\/em>, cercano a la longitud de Planck<\/a>, explicar\u00eda el hecho de que la dimensi\u00f3n extra no se observe en los experimentos ordinarios, y en particular, que la ley del inverso del cuadrado se cumpla para distancias r \u00bb R5<\/sub><\/em>. Pero adem\u00e1s, la condici\u00f3n de periodicidad implica que existe una isometr\u00eda de la m\u00e9trica bajo traslaciones en la quinta dimensi\u00f3n, cuyo grupo U(1), coincide con el grupo de simetr\u00eda gauge<\/a> del electromagnetismo.<\/p>\n

Por \u00faltimo, imponiendo que el dilat\u00f3n es una constante, Klein demostr\u00f3 que las ecuaciones de movimiento reproducen las ecuaciones completas de Einstein<\/a> y Maxwell. Esta forma de tratar la dimensi\u00f3n extra, bautizada posteriormente como el paradigma de la compactificaci\u00f3n, hab\u00eda logrado superar los obst\u00e1culos iniciales: “… parece que la uni\u00f3n de la gravitaci\u00f3n y la teor\u00eda de Maxwell se consigue de una forma completamente satisfactoria con la teor\u00eda de cinco dimensiones<\/em>” (carta de Einstein<\/a> a Lorentz en 1.927), y de hecho, ha sido la \u00fanica forma consistente de introducir dimensiones extra hasta fechas m\u00e1s recientes.<\/p>\n

El propio Einstein<\/a> hab\u00eda comenzado a trabajar en la teor\u00eda de Kaluza con su ayudante Jacob Grommer y en 1.922 public\u00f3 un primer trabajo sobre existencia de soluciones esf\u00e9ricamente sim\u00e9tricas, con resultado negativo. M\u00e1s tarde, en 1.927 present\u00f3 ante la Academia Prusiana dos trabajos en los que reobten\u00eda los resultados de Klein. Su infructuosa b\u00fasqueda de una teor\u00eda de campo unificada le har\u00eda volver cada pocos a\u00f1os a la teor\u00eda en cinco dimensiones durante el resto de su vida. Los resultados de Klein sobre la cuantizaci\u00f3n de la carga el\u00e9ctrica pueden entenderse f\u00e1cilmente considerando el desarrollo en modos de Fourier de los campos con respecto a la dimensi\u00f3n peri\u00f3dica:<\/p>\n

\"modos_fourier_para_campos\"<\/p>\n

La ecuaci\u00f3n de ondas en cinco dimensiones puede reescribirse como:<\/p>\n

\"ecuacion_ondas_5_dimensiones\"<\/p>\n

Donde D\u03bc<\/sub><\/em> es una derivada covariante con respecto a transformaciones generales de coordenadas y con respecto a transformaciones gauge<\/a> con una carga qn<\/sub> = nk\/R5<\/sub><\/em>. Vemos por tanto que el campo en cinco dimensiones se descompone en una torre infinita de modos 4-dimensionales \u03a8n<\/sub>(x)<\/em> con masas mn<\/sub>2<\/sup> = n2<\/sup>\/R5<\/sub>2<\/sup><\/em>, en unidades naturales \u045b = c = 1<\/em>, y carga qn<\/sub><\/em> (modos de Kaluza-Klein<\/a>).<\/p>\n

Puesto que el radio de compactificaci\u00f3n es tan peque\u00f1o, el valor t\u00edpico de las masas ser\u00e1 muy elevado, cercano a la masa de Planck<\/a> Mp<\/sub> = k-12<\/sup> = 1’2 \u00d7 1019<\/sup> GeV*<\/a><\/em>, y por tanto, a las energ\u00edas accesibles hoy d\u00eda (y previsiblemente, tampoco en un futuro cercano – qu\u00e9 m\u00e1s quisieran E. Witten y los perseguidores de las supercuerdas -), \u00fanicamente el modo cero n = 0<\/em> ser\u00e1 relevante. Esto plantea un serio problema para la teor\u00eda, pues no contendr\u00eda part\u00edculas ligeras cargadas como las que conocemos.<\/p>\n

\u00bfY si llevamos a Kaluza-Klein<\/a> a dimensiones superiores para unificar todas las interacciones?<\/p>\n

La descripci\u00f3n de las interacciones d\u00e9biles y fuertes a trav\u00e9s de teor\u00edas gauge<\/a> no abelianas mostr\u00f3 las limitaciones de los modelos en cinco dimensiones, pues \u00e9stas requerir\u00edan grupos de simetr\u00eda mayores que el del electromagnetismo. En 1.964 Bryce de UIT present\u00f3 el primer modelo de tipo Kaluza-Klein<\/a>-Yang-Mills<\/a> en el que el espacio extra conten\u00eda m\u00e1s de una dimensi\u00f3n.<\/p>\n

El siguiente paso ser\u00eda construir un modelo cuyo grupo de isometr\u00eda contuviese el del Modelo Est\u00e1ndar SU(3)c<\/sub> \u00d7 SU(2)l<\/sub> \u00d7 U(1)y<\/sub>, y que unificara por tanto la gravitaci\u00f3n con el resto de las interacciones.<\/p>\n

Edward Witten demostr\u00f3 en 1.981 que el n\u00famero total de dimensiones que se necesitar\u00edan ser\u00eda al menos de once. Sin embargo, se pudo comprobar que la extensi\u00f3n de la teor\u00eda a once dimensiones no pod\u00eda contener fermiones<\/a> quirales, y por tanto ser\u00eda incapaz de describir los campos de leptones<\/a> y quarks<\/a>.<\/p>\n

Por otra parte, la supersimetr\u00eda<\/a> implica que por cada bos\u00f3n<\/a> existe un fermi\u00f3n<\/a> con las mismas propiedades. La extensi\u00f3n supersim\u00e9trica de la Relatividad General es lo que se conoce como supergravedad (supersimetr\u00eda<\/a> local).<\/p>\n

Unos a\u00f1os antes, en 1.978, Cremmer, Julia y Scherk hab\u00edan encontrado que la supergravedad, precisamente en once dimensiones, ten\u00eda propiedades de unicidad que no se encontraban en otras dimensiones. A pesar de ello, la teor\u00eda no conten\u00eda fermiones<\/a> quirales, como los que conocemos, cuando se compactaba en cuatro dimensiones. Estos problemas llevaron a gran parte de los te\u00f3ricos al estudio de otro programa de unificaci\u00f3n a trav\u00e9s de dimensiones extra a\u00fan m\u00e1s ambicioso, la teor\u00eda de cuerdas.<\/p>\n

emilio silvera<\/em><\/p>\n

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*<\/a> Profesor sin plaza ni salario, salvo honorarios seg\u00fan las clases impartidas. Volver<\/a><\/p>\n

*<\/a> \"masa_planck\" del orden de 10-8 Kg<\/sup> = 1011<\/sup> GeV; es la masa de una part\u00edcula cuya longitud de onda compton es igual a la longitud de Planck<\/a>. Volver<\/a><\/p>\n

\r\n\t\t\r\n\t\t
<\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span>hotmail correo<\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span><\/a><\/span>[?]<\/a><\/span><\/td><\/tr><\/table><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La gravitaci\u00f3n y dimensiones extra “… la l\u00ednea tiene magnitud en una direcci\u00f3n, el plano en dos direcciones y el s\u00f3lido en tres direcciones; a parte de \u00e9stas, no hay ninguna magnitud porque las tres son todas…” Eso nos dijo Arist\u00f3teles alrededor de 350 a\u00f1os antes de Cristo, y la verdad, es que desde la […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_s2mail":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2136"}],"collection":[{"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2136"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2136\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2136"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2136"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2136"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}