{"id":2133,"date":"2010-10-07T10:41:46","date_gmt":"2010-10-07T08:41:46","guid":{"rendered":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/?p=2133"},"modified":"2010-10-07T10:42:03","modified_gmt":"2010-10-07T08:42:03","slug":"final-del-homenaje-a-boltzmann","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/2010\/10\/07\/final-del-homenaje-a-boltzmann\/","title":{"rendered":"Final del homenaje a Boltzmann"},"content":{"rendered":"

La entrop\u00eda<\/a> creadora del orden<\/strong><\/p>\n

Pero volvamos a la famosa ecuaci\u00f3n de Boltzmann, personaje objeto de este comentario, en la que se pueden deducir consecuencias inesperadas. Generalmente, la gente tiene asociada la entrop\u00eda<\/a> al desorden. Es \u00e9sta una idea heur\u00edstica muy com\u00fan que se deriva precisamente de la misma ecuaci\u00f3n de Boltzmann: a mayor desorden, mayor cantidad de microestados, es decir, mayor entrop\u00eda<\/a>.<\/p>\n

Los sistemas evolucionan siempre hasta alcanzar su estado de m\u00e1xima entrop\u00eda<\/a>. Entonces, \u00bfqu\u00e9 significa el ep\u00edgrafe o t\u00edtulo que he puesto? \u00bfC\u00f3mo puede la entrop\u00eda<\/a> crear orden, si mayor entrop\u00eda<\/a> mayor desorden? No estoy seguro de que al final del comentario quien me est\u00e9 leyendo haya recibido el mensaje que le quiero transmitir: la ecuaci\u00f3n S = k log W<\/em> es m\u00e1s sutil que cualquier interpretaci\u00f3n heur\u00edstica que pueda hacerse de ella, y veremos que, de acuerdo con esta ecuaci\u00f3n, pueden simult\u00e1neamente en un sistema, aumentar la entrop\u00eda<\/a> y crearse estructuras ordenadas. Antes de pasar a ver algunos ejemplos que ilustran este fen\u00f3meno, empezaremos a recordar algunas cosas acerca del mecanismo de las transiciones de fase*<\/a>.<\/p>\n

Como es bien sabido, y acabamos de mencionar, la termodin\u00e1mica nos ense\u00f1a que, en ausencia de restricciones sobre un sistema que tiene una energ\u00eda E<\/em> y ocupa un volumen V<\/em>, en equilibrio \u00e9ste se encuentra en el estado en que la entrop\u00eda<\/a> es m\u00e1xima. Es el conocido principio de m\u00e1xima entrop\u00eda<\/a>. A la luz de la ecuaci\u00f3n de Boltzmann, lo que esto significa es que encontraremos el sistema en el macroestado que est\u00e1 compuesto por un mayor n\u00famero de microestados. Debido a la alta dimensionalidad del espacio de fases de un sistema de muchas part\u00edculas, “mayor n\u00famero” es una manera sobria de referirse, en realidad, a un n\u00famero abrumadoramente mayor; en otras palabras, pr\u00e1cticamente todos los microestados corresponden al macroestado de equilibrio (todo lo grande est\u00e1 formado de cosas peque\u00f1as). Esa es la raz\u00f3n por la que es enormemente improbable encontrar el sistema en un microestado que no corresponda al macroestado de equilibrio. La ecuaci\u00f3n, a la que continuamente hago referencias, proporciona as\u00ed una excelente explicaci\u00f3n del principio de m\u00e1xima entrop\u00eda<\/a>.<\/p>\n

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Cuando un sistema est\u00e1 en contacto con un ba\u00f1o t\u00e9rmico a temperatura T<\/em>, la energ\u00eda deja de conservarse y lo que pasa a ser constante, a parte de la temperatura, es su promedio. La conservaci\u00f3n del promedio de la energ\u00eda impone una restricci\u00f3n al sistema, de modo que la entrop\u00eda<\/a> ya no puede alcanzar su valor m\u00e1ximo. De nuevo la termodin\u00e1mica nos dice que, en ese caso, lo que se hace m\u00e1ximo es la entrop\u00eda<\/a> menos la energ\u00eda media dividida entre la temperatura. Visto de otro modo, como el calor es Q = TS<\/em>, otra forma de parafrasear el principio de m\u00e1xima entrop\u00eda<\/a> es decir que el sistema, en equilibrio, distribuye la m\u00e1xima cantidad de energ\u00eda posible en grados de libertad que no producen trabajo (en calor). En ausencia de restricciones esto maximiza el calor Q<\/em>, es decir, la entrop\u00eda<\/a>; si conservamos la energ\u00eda media, entonces es Q – E<\/em>, lo que se hace m\u00e1xima.<\/p>\n

La magnitud anterior tiene una interpretaci\u00f3n en termodin\u00e1mica: Q – E = TS – E = – F<\/em>; F<\/em> es la energ\u00eda libre del sistema, la parte de la energ\u00eda que puede transformarse en trabajo. El principio de m\u00e1xima entrop\u00eda<\/a> se convierte, en un sistema isotermo, en el principio de m\u00ednima energ\u00eda libre.<\/p>\n

No quiero continuar la explicaci\u00f3n mediante profundas y largas redacciones llenas de ecuaciones y ejemplos, en la mayor parte de los casos, ilegibles para el lector medio, as\u00ed que insistir\u00e9 sobre la sutileza de la ecuaci\u00f3n que se denot\u00f3 en p\u00e1ginas anteriores como S = k log W<\/em>, y al mismo tiempo volver a la advertencia en contra de intuiciones heur\u00edsticas que puedan inducir a error (no se trata de que tengamos que dejar totalmente a un lado la intuici\u00f3n, pero s\u00ed es conveniente dejar siempre una puerta abierta al escepticismo – evitaremos sorpresas desagradables que llevan consigo la confianza ciega -).<\/p>\n

La idea de orden y de aumento de entrop\u00eda<\/a> no es en absoluto incoherente, porque la ecuaci\u00f3n arriba rese\u00f1ada no identifica en absoluto entrop\u00eda<\/a> con desorden, y como ejemplo sencillo de ello, se me ocurre recurrir a una caja de frutero ocupada por frutas esf\u00e9ricas (naranjas). Tenemos que simular un sistema de esferas duras. La simulaci\u00f3n consiste en situar N<\/em> esferas en una caja c\u00fabica de volumen V<\/em> (lo que fija la densidad del fluido en p = N\/V<\/em>), y asign\u00e1ndoles una velocidades aleatorias, dejarlas evolucionar de acuerdo a las leyes de la mec\u00e1nica. Cuando dos esferas se encuentran se produce una colisi\u00f3n el\u00e1stica que se resuelve a partir de las ecuaciones de conservaci\u00f3n de energ\u00eda y momento. Al cabo de un tiempo de simulaci\u00f3n, las part\u00edculas se encuentran en la fase de equilibrio a esa densidad (n\u00f3tese que dado que no hay energ\u00eda de interacci\u00f3n, la temperatura pasa a ser un mero factor de escala de las velocidades, siendo pues, irrelevante), o dicho de otra manera m\u00e1s precisa, presentan microestados correspondientes a dicha fase. Se puede observar en la simulaci\u00f3n que las esferas muestran configuraciones desordenadas cuando la fracci\u00f3n de volumen ocupada era inferior al 50% aproximadamente, pero por encima de esa fracci\u00f3n, las esferas cristalizan en una red regular.<\/p>\n

En vista del an\u00e1lisis del ejemplo anterior, esto no puede ocurrir… y sin embargo, ocurre; si no preguntemos a un frutero. Ellos saben desde siempre que la mejor manera de empaquetar naranjas (o cualquier otra fruta de forma m\u00e1s o menos esf\u00e9rica), es decir, la forma en que ocupan menos espacio, es apil\u00e1ndolas en una red ordenada. Lo que esto significa es que dicha red ordenada hace posible que el volumen accesible medio que corresponde a cada part\u00edcula es mayor que en una fase ordenada.<\/p>\n

Esto puede resultar desconcertante: si hay N<\/em> part\u00edculas en un volumen V<\/em>, \u00bfno es V\/N<\/em> el volumen medio por part\u00edcula? En realidad no, porque hablamos de volumen accesible. Debido a que las esferas no se pueden penetrar, cada una tiene a su alrededor toda una esfera de radio 2r<\/em>, siendo r<\/em> el radio de las esferas, en la que no puede encontrarse ning\u00fan centro de masas de ninguna otra esfera (de lo contrario solapar\u00edan con ella).<\/p>\n

\"particulas-entropia-color\"<\/a><\/p>\n

As\u00ed que, en principio, el volumen accesible ser\u00eda (V – vN)\/N<\/em>, siendo v<\/em> el volumen excluido por una esfera. Pero esta cuenta s\u00f3lo es v\u00e1lida a bajas densidades, cuando las esferas se encuentran, en promedio, muy alejadas unas de otras. A densidades superiores, cuando hay un gran n\u00famero de esferas a una distancia entre centros de masa inferior a 4r<\/em>, las esferas de exclusi\u00f3n de part\u00edculas vecinas se solapan (gr\u00e1fico b<\/em>), quedando pues, un volumen accesible mayor que cuando no lo hac\u00edan. Resulta ahora evidente que el volumen accesible total depende de la configuraci\u00f3n concreta de las esferas, y su promedio, por tanto, depender\u00e1 de la fase en la que se encuentren. As\u00ed pues, s\u00ed puede ocurrir (y de hecho ocurre) que en la fase cristalina las esferas dispongan de m\u00e1s volumen accesible que en la fase fluida.<\/p>\n

Lo que queda es trivial, recurriendo a la ecuaci\u00f3n S = k log W<\/em>, m\u00e1s volumen accesible significa un mayor n\u00famero de microestados, lo que a su vez significa, seg\u00fan esta ecuaci\u00f3n, mayor entrop\u00eda<\/a>; la fase ordenada tiene m\u00e1s volumen accesible por part\u00edcula, luego la fase ordenada tiene mayor entrop\u00eda<\/a>. As\u00ed de simple.<\/p>\n

Terminar\u00e9 este peque\u00f1o homenaje a Ludwig Boltzmann (cuya vida y obra pertenecen a la Historia, lugar virtual donde no todos podemos estar con el mismo relieve) con admiraci\u00f3n hacia su obra.<\/p>\n

Es curioso contemplar la generaci\u00f3n de Boltzmann desde la perspectiva de nuestro siglo que nos deja apreciar que, por una parte, cient\u00edficos como \u00e9l, Kirchhoff , Helmholtz, Maxwell, Lord Kelvin, Hertz, Lorentz, J. J. Thompson, Max Planck y Poincar\u00e9, entre otros muchos, impulsaron y generaron un enorme crecimiento de la f\u00edsica pero que, por otra parte, fueron eclipsados por la figura de Einstein<\/a>, convertido en el icono del f\u00edsico por antonomasia. Situado en el macizo monta\u00f1oso de tantas cumbres, la de Boltzmann apenas destaca, aunque sin duda su presencia contribuye a crear la l\u00ednea de horizonte rocoso y s\u00f3lido de la f\u00edsica de nuestro tiempo.<\/p>\n

Aqu\u00ed dejamos un recuerdo, mas de \u00a0100 a\u00f1os despu\u00e9s de su muerte voluntaria en Duino, cerca de Trieste, de un gran f\u00edsico que nunca se valor\u00f3 en su justa medida.<\/p>\n

emilio silvera<\/em><\/p>\n

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*<\/a> Cambio de las caracter\u00edsticas de un sistema. Volver<\/a><\/p>\n

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