{"id":1682,"date":"2010-05-05T09:52:34","date_gmt":"2010-05-05T07:52:34","guid":{"rendered":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/?p=1682"},"modified":"2010-05-04T09:51:50","modified_gmt":"2010-05-04T07:51:50","slug":"principios-de-simetria","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.emiliosilveravazquez.com\/blog\/2010\/05\/05\/principios-de-simetria\/","title":{"rendered":"Principio de Simetria"},"content":{"rendered":"

Podemos concebir, en una muy simple definici\u00f3n, que el \u00abprincipio de simetr\u00eda\u00bb viene a ser como un intento de simplificar las cosas en t\u00e9rminos matem\u00e1ticos y abstractos. Existe, de hecho, simetr\u00eda cuando se le hace algo a un objeto sin que \u00e9ste cambie. Por ejemplo si usted comporta un libro de una habitaci\u00f3n a otra de su casa, su texto no sufre ninguna variaci\u00f3n, puede seguir siendo igual de bueno, malo o p\u00e9simo. Hay una simetr\u00eda de contenido ante el desplazamiento del libro. Si lo invierte ya no se podr\u00e1 leer f\u00e1cilmente, pero la forma externa no ha cambiado: es una simetr\u00eda de forma ante un medio giro. Si lo deja de leer ahora y lo retoma ma\u00f1ana, tampoco hace diferencia en el contenido, de donde se desprende una simetr\u00eda con respecto a cambios en el tiempo.<\/p>\n

Este tipo de simetr\u00edas es f\u00e1cil encontrar su presencia en la naturaleza, y de ellas se desprenden leyes tan fundamentales como la conservaci\u00f3n de la energ\u00eda. De hecho, existe un antiguo e importante teorema que enunci\u00f3, en 1918<\/a>, Emmy Noether<\/a>. Ella demostr\u00f3 que hay una relaci\u00f3n entre simetr\u00edas continuas y leyes de conservaci\u00f3n de alguna magnitud b\u00e1sica. Simetr\u00edas continuas son las que resultan de operaciones sin restricci\u00f3n de magnitud. Por ejemplo, si en vez de girar un libro que se encuentra leyendo en media vuelta lo rota un poquito, o un cuarto de vuelta, o algo diferente a media vuelta o vuelta entera, su contorno ya no se ve igual: no es una simetr\u00eda continua. Importa la magnitud del \u00e1ngulo de giro. Un plato, en cambio, se puede girar en cualquier \u00e1ngulo, y su contorno se ve siempre igual; hay una simetr\u00eda continua. La simetr\u00eda de contenido que se deriva de desplazar el libro es continua, pues no importa que lo lleve al cuarto del lado, lo mueva un cent\u00edmetro, o casi nada: el libro siempre sigue igual. La conservaci\u00f3n de la energ\u00eda, esa magna e inamovible ley descubierta el siglo XIX y enriquecida por Einstein<\/a> con una de sus m\u00e1s reconocida ecuaci\u00f3n emececuadrado es, por ejemplo, una consecuencia de la simetr\u00eda continua de atrasar o adelantar (en el tiempo) todo lo que ocurre en el universo. Versiones m\u00e1s abstractas del teorema de Noether permiten deducir la conservaci\u00f3n de la carga el\u00e9ctrica, y la existencia de algunos mensajeros de las fuerzas.<\/p>\n

<\/p>\n

\"simetri\"<\/p>\n

En realidad, la simetr\u00eda se encuentra en todo nuestro entorno: la simetr\u00eda aproximadamente bilateral de nuestros cuerpos, la esf\u00e9rica de la pelota, la cil\u00edndrica de una lata de conservas. Hay una simetr\u00eda relacionada con c\u00f3mo permanecen inalterados o invariantes ciertos objetos si los transformamos. Por ejemplo, si imprimimos un movimiento de rotaci\u00f3n a una esfera perfecta alrededor de cualquier eje, o a un cilindro alrededor de su eje, permanecen invariables, lo que constituye una manifestaci\u00f3n de su simetr\u00eda espec\u00edfica. Se denomina a estas operaciones operaciones de simetr\u00eda. Por otro lado, todo lo relacionado con simetr\u00eda tiene un peso enorme en la relaci\u00f3n de los problemas cu\u00e1nticos.<\/p>\n

En el siglo XIX, los matem\u00e1ticos ya hab\u00edan intentado describir matem\u00e1ticamente todas las posibles operaciones de simetr\u00eda de este tipo, bas\u00e1ndose en una disciplina nueva denominada \u00abteor\u00eda de grupo\u00bb. Una idea b\u00e1sica de la teor\u00eda de grupo es describir simb\u00f3licamente operaciones de simetr\u00eda, como las rotaciones, utilizando el \u00e1lgebra. Supongamos, por ejemplo, que expresamos la rotaci\u00f3n de un objeto alrededor de un eje concreto denominado 1, y siguiendo un \u00e1ngulo concreto, por R1<\/sub>, R2<\/sub> y R3<\/sub> expresar\u00e1n otras rotaciones siguiendo otros \u00e1ngulos distintos alrededor de ejes, denominados 2 y 3. Si expresamos luego algebraicamente el producto R2<\/sub> x R1<\/sub>, esto significa: Realizar primero la rotaci\u00f3n R1<\/sub> y luego la rotaci\u00f3n R2<\/sub>. La operaci\u00f3n conjunta R2<\/sub> x R1<\/sub> es por s\u00ed sola una rotaci\u00f3n. Hay que tener en cuenta que, en las rotaciones, R2<\/sub> X R1<\/sub> no es igual que R1<\/sub> x R2<\/sub>. Pero supongamos que esto no se cumple aqu\u00ed.<\/p>\n

Entonces efectuemos la rotaci\u00f3n R3<\/sub>, de modo que la rotaci\u00f3n resultante sea ya R3<\/sub> x (R2<\/sub> x R1<\/sub>), lo que significa la rotaci\u00f3n R2<\/sub> x R1<\/sub> seguida de R3<\/sub>. Supongamos que empezamos otra vez y realizamos la rotaci\u00f3n R1<\/sub> y a continuaci\u00f3n la rotaci\u00f3n conjunta expresada por R3<\/sub> x R2<\/sub>, de modo que el resultado neto ser\u00e1 (R3<\/sub> x R2<\/sub>) x R1<\/sub> = R3<\/sub> (R2<\/sub> x R1<\/sub>); vemos, pues, que en estas operaciones rotatorias se cumple la \u00abley asociativa\u00bb. Esta norma es uno de los axiomas de la teor\u00eda de grupo.<\/p>\n

\"simetri1\"<\/p>\n

Las operaciones rotatorias no cumplen la propiedad algebraica conmutativa A x B =B x A. En este ejemplo, A corresponde a una rotaci\u00f3n de 90 grados en sentido contrario al de las agujas del reloj, alrededor de un eje perpendicular al plano de la p\u00e1gina; y B corresponde a una rotaci\u00f3n de 90 grados alrededor de un eje horizontal. Si hacemos girar al lector conforme a la operaci\u00f3n B y luego conforme a la operaci\u00f3n A, comprobamos que el resultado final no es el mismo que el obtenido cuando las operaciones se realizan en el orden inverso.<\/p>\n

Por otra parte, vemos que hay una rotaci\u00f3n bastante simple del objeto que corresponde a dejarlo invariable: la operaci\u00f3n de identidad denominada I, que equivale a no realizar ninguna rotaci\u00f3n. Es evidente que I x R1<\/sub> = R1<\/sub> x I = R1<\/sub>. La existencia de la operaci\u00f3n de identidad I es el segundo axioma de la teor\u00eda de grupo.<\/p>\n

Ahora, por \u00faltimo, supongamos que hay una operaci\u00f3n inversa mediante la cual podemos deshacer cualquier rotaci\u00f3n, y que equivale a girar simplemente el objeto hacia atr\u00e1s. La operaci\u00f3n inversa a la rotaci\u00f3n R1<\/sub> se expresa mediante R1<\/sub>–<\/sup>1<\/sup>, y tiene la propiedad R1<\/sub> x R1<\/sub>–<\/sup>1<\/sup> = I = R1<\/sub>–<\/sup>1<\/sup> x R1<\/sub>.<\/p>\n

De estos tres axiomas enga\u00f1osamente simples (la ley asociativa, la existencia de la identidad y de un inverso) brota la bella estructura de la teor\u00eda matem\u00e1tica de grupo, de modo muy parecido a c\u00f3mo de los axiomas de Euclides surgen las maravillas de la geometr\u00eda plana. Aunque hemos ejemplificado los axiomas algebraicos de la teor\u00eda de grupo vali\u00e9ndonos de las rotaciones de un objeto en el espacio tridimensional, dichos axiomas son much\u00edsimo m\u00e1s generales y se aplican a muchos tipos de transformaciones de simetr\u00eda en espacios multidimensionales (el intercambio de objetos, las reflexiones espaciales, etc.). Pueden aplicarse m\u00e9todos algebraicos formidables a partir de la noci\u00f3n de simetr\u00eda, y los matem\u00e1ticos han clasificado y estudiado todas las posibles simetr\u00edas de este tipo. Pero, \u00bfqu\u00e9 tienen que ver con la f\u00edsica estas ideas matem\u00e1ticas abstractas?<\/p>\n

Mucho pues. Coloqu\u00e9monos un ejemplo. Imaginemos a dos f\u00edsicos situados en puntos distintos del espacio, observando ambos el mismo objeto, situado a su vez en un tercer punto. Los dos f\u00edsicos realizan mediciones de este objeto respecto a sus posiciones relativas y luego deciden comunicarse los resultados. Como cada uno de los f\u00edsicos realiz\u00f3 las mediciones respecto a su propio sistema de coordenadas de c\u00e1lculo, para comunicarse tales mediciones necesitan transformar o trasladar las mediciones realizadas en un sistema de coordenadas a las realizadas en el otro. La m\u00e1s general de estas transformaciones de coordenadas para dos f\u00edsicos en reposo entre s\u00ed (como hemos supuesto aqu\u00ed) es una translaci\u00f3n (un desplazamiento en l\u00ednea recta en el espacio) y una rotaci\u00f3n alrededor de un eje. Es f\u00e1cil ver que cualquiera de estas traslaciones y rotaciones obedece a los axiomas de la teor\u00eda de grupo cuando se describen algebraicamente. Vemos que la teor\u00eda de grupo y la simetr\u00eda salen a colaci\u00f3n en cuanto nos planteamos la transformaci\u00f3n de varias mediciones realizadas en sistemas de coordenadas distintos uno de otro: las leyes generales de las transformaciones de espacio y tiempo.<\/p>\n

\"simetri3\"<\/p>\n

Imaginemos a dos f\u00edsicos, en reposo relativo en el espacio, asidos a sus respectivos sistemas de coordenadas, representados por tres flechas perpendiculares entre s\u00ed. Si desean comunicar los res resultados de las mediciones obtenidas respecto a sus sistemas de coordenadas han de saber c\u00f3mo se relacionan los dos sistemas. La conversi\u00f3n de coordenadas m\u00e1s general que transformar\u00e1 un sistema en el otro es la traslaci\u00f3n del punto de origen de un sistema de coordenadas al otro, seguido de una rotaci\u00f3n.<\/p>\n

Hay que tomar en consideraci\u00f3n que los conceptos de simetr\u00eda se aplican a las leyes generales de la f\u00edsica, no a configuraciones o acontecimientos espec\u00edficos. En el ejemplo que di, es importante que dos sistemas cualesquiera de coordenadas (no simplemente algunos) puedan transformarse uno en otro mediante una traslaci\u00f3n y una rotaci\u00f3n. Adem\u00e1s, si dos f\u00edsicos cualesquiera, deducen las mismas leyes de la f\u00edsica utilizando distintos sistemas de coordenadas, podemos extraer la conclusi\u00f3n de que las leyes de la f\u00edsica son translativa y rotatoriamente invariantes: se aplican independientemente del lugar en que uno est\u00e9 emplazado o de la orientaci\u00f3n que se tenga en el espacio. Las simetr\u00edas de las leyes de la f\u00edsica expresan as\u00ed una invarianza.<\/p>\n

Hasta ahora, hemos abordado las translaciones y las rotaciones en el espacio tridimensional ordinario. Pero si reflexionamos un poco comprenderemos que esas mismas ideas deben generalizarse y aplicarse al espaciotiempo cuatridimensional de Minkowski<\/a><\/a>, lo cual es importante para las leyes de transformaci\u00f3n espaciotemporal de Einstein<\/a> entre observadores en movimiento. Los f\u00edsicos saben que el sentido m\u00e1s profundo de la teor\u00eda de la relatividad<\/a> restringida o especial de Einstein<\/a> es que las leyes de la f\u00edsica s\u00f3lo son invariantes para operaciones de simetr\u00eda que corresponden a rotaciones y traslaciones en el espaciotiempo cuatridimensional. Si establecemos esta condici\u00f3n de simetr\u00eda (que es lo mismo que exigir que sea v\u00e1lida la relatividad<\/a> especial) descubrimos algo muy notable.<\/p>\n

Uno de los primeros que investigaron esta relaci\u00f3n de las transformaciones de Einstein<\/a> con el \u00abgrupo de simetr\u00eda\u00bb y la aplicaron a las part\u00edculas cu\u00e1nticas fue un f\u00edsico de Princeton, Eugene Wigner. Wigner escribi\u00f3 en 1939 un art\u00edculo que demostraba c\u00f3mo esas consideraciones puramente matem\u00e1ticas de la teor\u00eda de grupo pod\u00edan permitir la clasificaci\u00f3n de las part\u00edculas cu\u00e1nticas, lo que constitu\u00eda un acontecimiento notable y trascendental. Lo que consigui\u00f3 Wigner recuerda en varios sentidos lo que hab\u00eda logrado la generaci\u00f3n anterior de cient\u00edficos que clasific\u00f3 todos los cristales posibles mediante el uso de grupos de simetr\u00eda, los llamados \u00abgrupos cristalinos\u00bb, de ret\u00edculas espaciales peri\u00f3dicas. Si bien los cristales pueden representarse en ret\u00edculas espaciales, objetos del tipo de las part\u00edculas cu\u00e1nticas (o, en realidad, cualquier objeto dado que existe en espaciotiempo cuatridimensional) deben ser representaciones de las correspondientes simetr\u00edas de espaciotiempo encarnadas en las transformaciones einstianas. Wigner demostr\u00f3 que esto permit\u00eda clasificar las part\u00edculas cu\u00e1nticas.<\/p>\n

Demostr\u00f3 primero que toda part\u00edcula cu\u00e1ntica pod\u00eda clasificarse seg\u00fan su masa en reposo. Si la part\u00edcula se mov\u00eda y su masa en reposo no era cero, pod\u00edamos suponer que nos mov\u00edamos a la misma velocidad que la part\u00edcula, de modo que respecto a nuestro propio movimiento la part\u00edcula estuviese en reposo, y medir as\u00ed con exactitud su masa en reposo. Por otra parte, s\u00ed la masa en reposo de una part\u00edcula fuese exactamente cero (como la del fot\u00f3n<\/a>, la part\u00edcula de luz), se mover\u00eda siempre a la velocidad de la luz y jam\u00e1s podr\u00edamos movernos a la misma velocidad. As\u00ed pues, todas las part\u00edculas pod\u00edan clasificarse seg\u00fan su masa en reposo, fuese \u00e9sta cero o no.<\/p>\n

Los trabajos de Wigner admit\u00edan tambi\u00e9n la existencia de dos \u00abtaquiones\u00bb, part\u00edculas hipot\u00e9ticas que se mov\u00edan siempre a una velocidad superior a la de la luz. Gerald Feinberg, en 1967, propuso que quiz\u00e1 existan part\u00edculas con velocidades superiores a la de la luz, las llam\u00f3 \u00abtaquiones\u00bb. Para ellas la de la luz seguir\u00eda siendo una velocidad l\u00edmite, pero un m\u00ednimo, no un m\u00e1ximo. Sin embargo, no sabemos si en realidad existen, ya que no se han podido detectar. Tampoco, nadie ha logrado formular jam\u00e1s una teoria matem\u00e1tica coherente de taquiones interactuantes. Por ahora, el \u00fanico lugar donde se pueden encontrar \u00abtaquiones\u00bb es en los glosarios de f\u00edsica y diccionarios.<\/p>\n

El segundo principio de clasificaci\u00f3n importante de Wigner es que toda part\u00edcula cu\u00e1ntica ha de tener un esp\u00edn<\/a> definido. Podr\u00edamos imaginarnos las part\u00edculas como peoncitas que giran. Este giro o esp\u00edn<\/a> en unidades especiales, s\u00f3lo pod\u00eda tener los valores 0, 1\/2, 1, 3\/2, 2, 5\/2, 3… o un entero o un valor semientero; el esp\u00edn<\/a> era cuantificable. Si se descubriera alguna vez una part\u00edcula con un esp\u00edn<\/a> de 1\/6 esto entra\u00f1ar\u00eda una violaci\u00f3n de la relatividad<\/a> especial y seria una grave falla de las leyes f\u00edsicas.<\/p>\n

Las part\u00edculas de esp\u00edn<\/a> entero, 0, 1, 2… se denominan \u00abbosones<\/a>\u00bb mientras que las de esp\u00edn<\/a> de medio entero, 1\/2, 3\/2, 5\/2… se denominan \u00abfermiones<\/a>\u00bb, diferenciaci\u00f3n de suma importancia, porque cada grupo de part\u00edculas en giro interact\u00faa de modo muy distinto con otras part\u00edculas. Por ejemplo, el n\u00famero total de fermiones<\/a> que intervienen en una reacci\u00f3n tiene que ser igual al n\u00famero total de fermiones<\/a> resultantes… los fermiones<\/a> se conservan. Pero esa ley de conservaci\u00f3n no rige con los bosones<\/a>.<\/p>\n

El sistema de clasificaci\u00f3n que ide\u00f3 Wigner en 1939 tiene gran importancia y trascendencia, desde el punto de vista de la teor\u00eda cu\u00e1ntica, debido a que las diversas propiedades de que se vali\u00f3 para clasificar las part\u00edculas (masa, spin, etc.) no estaban sometidas al principio de incertidumbre de Heisenberg<\/a>. Podemos determinar la masa y el spin de una part\u00edcula simultaneamente con absoluta precisi\u00f3n. De ah\u00ed que tales propiedades (pero no otras) tengan valores precisos para cada part\u00edcula; pueden considerarse los atributos de las part\u00edculas cu\u00e1nticas.<\/p>\n

Wigner se bas\u00f3 en la idea de que las transformaciones einstianas eran un grupo de simetr\u00eda del espaciotiempo de Minkowski<\/a><\/a>, una de las primeras aplicaciones fruct\u00edferas de los principios de simetr\u00eda en la moderna f\u00edsica de part\u00edculas. Era una idea especialmente fecunda aplicada a sistemas multiparticulares, como por ejemplo el n\u00facleo at\u00f3mico, compuesto de protones<\/a> y neutrones<\/a>. Lo importante de la idea de Wigner era el hecho de que cuando uno aplicaba la condici\u00f3n algebraica del grupo de simetr\u00eda en una descripci\u00f3n matem\u00e1tica del mundo, autom\u00e1ticamente se presupon\u00eda no s\u00f3lo que se cumplir\u00edan los principios de la relatividad<\/a> especial sino, adem\u00e1s, que en ese mundo, las part\u00edculas pod\u00edan clasificarse con sencillez. De una sola condici\u00f3n brotaba una rica estructura de deducciones.<\/p>\n

De una u otra manera, la simetr\u00eda impulsa a la f\u00edsica. De hecho, todas las realidades emanadas de sesudos trabajos matem\u00e1ticos y descritas en literatura que hemos analizado en esta secci\u00f3n est\u00e1n relacionadas con la simetr\u00eda que concebimos en aceptaci\u00f3n general para el universo. A las que he vinculado con la conservaci\u00f3n de la energ\u00eda y, por ello, se las llama simetr\u00edas espaciotiempo, por la obvia raz\u00f3n de que se relacionan con las simetr\u00edas de la naturaleza asociadas con el espacio y el tiempo, y para distinguirlas de las que no lo est\u00e1n. Se vinculan \u00edntegramente entonces con la teor\u00eda especial o restringida de Einstein<\/a>. Como la relatividad<\/a> pone al tiempo en igual condici\u00f3n que al espacio, hace patente una nueva simetr\u00eda entre ambos. Los une en una nueva y \u00fanica entidad, el espaciotiempo, que conlleva un conjunto de simetr\u00edas que no est\u00e1n presentes cuando se consideran el espacio y el tiempo en forma desagregada. En verdad, la invariante de la velocidad de la luz es, en s\u00ed misma, se\u00f1al de una nueva simetr\u00eda de la naturaleza, que conecta el espacio y el tiempo.<\/p>\n

Texto extra\u00eddo de Astrocosmo<\/a><\/em><\/p>\n

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